La aritmética de Frege

David Baños Abril

Gottlob Frege, matemático y filósofo a partes iguales, dio inicio a una profunda revisión de las nociones más fundamentales de la Matemática. Este artículo lo dedicaremos a su proyecto de reconstruir la Aritmética y el concepto fundamental de número desde posiciones logicistas, tal y como adelantamos en el artículo previo.

Gottlob Frege y el logicismo

En este artículo tomaremos como referencia los Grundlagen der Aritmetik («Fundamentos de la Aritmética»), además de la última de las grandes obras de Frege: Grundgesetze der Aritmetik («Leyes Básicas de la Aritmética»). El objetivo de estas obras es vario. Frege busca ofrecer una idea precisa de número partiendo de los recursos de la lógica formal, en línea con el llamado programa logicista. No solo proponer una definición, sino derivar a partir de esta los teoremas propios de la Teoría de Números, como la propiedad conmutativa.

Las razones por las que se decidió por la Aritmética como objetivo de fundamentación rigurosa los mencionamos en el artículo pasado: Frege consideraba que el principio de cuantificación permeaba todo lo siquiera pensable.

Lógica y Matemática

Frege, como ya había planteado en obras previas, defiende una posición analítica de las matemáticas, esto es, derivar teoremas matemáticos a partir y haciendo uso exclusivamente de definiciones rigurosas. El análisis así entendido concibe las nociones matemáticas emergiendo de principios universales del pensamiento. Por supuesto, Frege no entendía el pensamiento como un acto cognitivo efectivo dependiente de las condiciones psico-fisiológicas. Para el matemático se trata más bien de guías que señalan cómo debe ser el pensamiento y que determinan deducciones necesarias. Tales guías están más allá de cualquier pensamiento individual, son leyes del pensamiento mismo y por ello, analíticas. Así, los números, tal y como los plantea Frege, son objetos abstractos pertenecientes a un reino distinto del mundo exterior y del mundo mental y que nada les debe a estos.

Objetos y Conceptos

Frege en los Grundlagen establece una noción que tendrá una importancia fundamental en todo su sistema: el concepto (Begriff). La obra de Frege, extensa y desarrollada a lo largo de su vida, ofrecería múltiples definiciones de concepto. Por el momento, entenderemos concepto como una declaración sobre un objeto indeterminado, como por ejemplo «x es la capital de un país» o también «x=4«. Como vemos, un concepto es la parte predicativa de un proposición, una parte que es insaturada, pues se encuentra a la espera de recibir un sujeto. Solo cuando la variable x es sustituida por un valor preciso («Seúl es la capital de un país» o «6=4«), el concepto introduce una declaración que puede ser verdadera o falsa.

¿Qué son los números?

Principio de abstracción

Los números son abstracciones que aplicamos a múltiples y muy variados conceptos. Así decimos que existen doce constelaciones del Zodíaco pero también doce discípulos de Cristo. Pero… ¿Qué significa exactamente ser un abstracción? ¿Porqué es el mismo número para las constelaciones que para los discípulos? Una primera explicación es que los números surgen a partir de conceptos de segundo orden, es decir propiedades aplicables a otros conceptos de orden inferior. Abstracción implica unificar una serie de elementos bajo un mismo juicio haciendo uso de alguna propiedad común, lo que se conoce como definición intensional. En nuestro ejemplo, el concepto «ser doce» se aplica a dos conceptos de orden inferior, constelaciones del Zodíaco y discípulos de Jesús. Pero esto no acaba de ofrecer una explicación exacta de qué es realmente un número y cómo lo aplicamos a uno u otro concepto.

Equivalencia e identidad

Como se indicó arriba, es necesario una pauta que establezca algún tipo de equivalencia entre conceptos para dar forma a uno de orden superior por abstracción. Frege nos pone un ejemplo tomado de la Geometría: podemos comparar dos líneas rectas, a y b, atendiendo a un criterio específico, ser o no paralelas a\parallel b. Este criterio es un criterio de equivalencia, que en este caso, es propio y exclusivo de la geometría. La abstracción transforma este criterio en uno más general, un criterio de igualdad, resultando en un nuevo concepto. Cuando dos rectas son paralelas, decimos que son iguales a la luz del concepto de dirección D(a) = D(b), o, dicho de otra manera, D(a) es sustituible en cualquier contexto por D(b).

El Principio de Hume

Partiendo de dos conceptos como puedan ser «x es una Maravilla de la Antigüedad» o «x es una nota musical» ¿Qué criterio de equivalencia permitiría dar forma al concepto de número siete? En el caso de los números, el criterio de equivalencia no sería el de paralelismo sino el de equinumerosidad: la posibilidad de emparejar los objetos que caen bajo ambos conceptos de manera que ninguno quede aislado. Así, podemos decir que el número θ de un concepto P(x) es igual al número de un concepto Q(x) sí y solo sí P(x) y Q(x) son equinumerosos (denotado con el símbolo )

θP(x) = θQ(x) ↔ P(x)∼θQ(x)

Este es el conocido como Principio de Hume, por su atribución al famoso filósofo británico. La equinumerosidad era, como vimos en artículos previos, el fundamento a partir del cual Cantor daba lugar al concepto de número cardinal. El Principio de Hume establece la equivalencia entre la igualdad de operadores del tipo «ser el número de un concepto» con la equinumerosidad entre conceptos.

Definiciones contextuales

El Principio de Hume como método para introducir los números en el sistema lógico arrastra varias dudas que hacen a Frege desconfiar de su viabilidad. Esas dudas están ante todo relacionadas como cómo entendemos la relación de igualdad. El operador visto antes θ, entendido como «el número n pertenece a», es un operador predicativo que asevera algo sobre un concepto de primer orden. Cuando igualamos dos operadores numéricos, aplicados por ejemplo a los conceptos «x es una Maravilla de la Antigüedad» y «x es una nota musical» estamos equiparando a ambos, así como con cualquier otro concepto equinumeroso a ellos. Pero un criterio de igualdad simplemente enuncia las diferentes vías a través de las que puede presentarse un mismo contenido significativo, siendo estas mutuamente sustituibles. Nada afirma acerca de la existencia de dicho objeto.

Además de esto podemos preguntarnos… ¿Son estos operadores realmente números? El vínculo de igualdad nos indica que todos «apuntan» hacia una misma entidad, el número siete. Pero son también dependientes de los conceptos que aplican y es por ello que estos operadores no son más que «puentes» entre concepto específicos y el número, pero no son números como tales al conservar su vínculo con los conceptos. Los números, dice Frege, son objetos autosostenibles, no atributos aplicados a conceptos específicos.

El Problema de Julio César

Los número pueden, por tanto, ser expresados desde diferentes posiciones ¿Qué ocurre cuando un número no nos es dado en términos de un criterio de equivalencia? ¿Cómo podemos decidir el valor de verdad de la expresión θN(x) = q si no tenemos forma de expresar q como un operador que aplica sobre un concepto? Este dilema es el conocido como Problema de Julio César: estamos incapacitados para decidir si Julio César es o no un número. Sabemos perfectamente que el dictador romano no es un número, pero no es gracias a la definición expuesta. La abstracción desde el criterio de equivalencia nos permite distinguir cuando los números de dos conceptos son o no iguales, pero no nos dice qué es exactamente un número.

La gravedad de este problema reside en que, para cualesquiera objetos a y b dentro de un mismo sistema lógico, debe existir una pauta que permita decidir cuando a=b. Si tal pauta no existiese, no podemos afirmar que ninguno de los objetos se encuentre definido con precisión. Y una definición precisa de número es el objetivo del trabajo de Frege.

Conceptos y extensión

En su obra definitiva y final, los Grunsgesetze der Aritmetik, aclara el proyecto logicista con una presentación mucho más formal de sus nociones básicos, principalmente la de concepto. Un concepto es una tipología de una noción más general como es la función, una que mapea cada argumento con uno de dos posibles valores de verdad: «verdadero» o «falso«. Decimos que dichos objetos caen bajo el concepto, es decir, cuando el concepto devuelva un valor de verdad.

Extensión

Un concepto tiene una extensión, los objetos que caen bajo dicho concepto. Así, el concepto «x es una luna galileana» tiene una extensión: {Ío, Calisto, Ganímedes, Europa}. Para un concepto Q, denotamos su extensión como εQ.

Para un concepto como puede ser «ser la capital de un país», solo los objetos que dicho concepto mapee con el valor verdadero («Madrid», «Seúl», «Caracas», etc…) se consideran que forman parte de su extensión.

La extensión no deja de ser una definición cercana a la de conjunto: ambas definen una agrupación de elementos tomada como un todo delimitado. Siguiendo la moderna notación de Teoría de Conjuntos, podemos definir un conjunto P a partir de un concepto fregeano como puede ser x^{2} = 16 tal que

\{ x∈P \mid x^{2} = 16 \}

A tal conjunto así definido pertenecen dos elementos: 4 y -4.

Aún así, los principios lógicos de los que parte Frege disponen propiedades de las extensiones que no comparten con los conjuntos cantorianos. Veremos esto en el próximo artículo.

La ley V

Un concepto determina siempre una extensión. Este es el llamado Principio de Comprehensión. Frege desarrolla esta noción de extensión y recurre a ella para sustituir el Principio de Hume de los números y, de forma más general, a todo mecanismo de abstracción. Combinando la notación de Frege para la extensión con el moderno lenguaje lógico podemos expresar el nuevo principio de Frege como:

(εF(x) = εP(x)) ↔ ∀x[F(x) ↔ P(x)] 

Esta ley, que en el sistema lógico de Frege es conocido como la Ley Básica V, implica que afirmar que dos extensiones εF y εP sean iguales equivale a afirmar que los objetos que caen bajo un concepto son los mismos que caen bajo el otro. Esto es así incluso para aquellos conceptos bajo los cuales no cae ningún objeto como puede ser Q(\sqrt{2} = \frac{x}{y}). Decimos que tales extensiones son vacías.

Veremos en el artículo siguiente que esta ley, aparentemente inofensiva, truncaría todo el proyecto de Frege. Pero antes veamos sus implicaciones.

Extensión y números

Frege recurre a la noción de extensión para definir los números. Un número es la extensión de un concepto de segundo orden que se ajusta a la forma general «ser un concepto equinumeroso a». Si P y Q son dos conceptos equinumerosos, entonces la extensión del los conceptos de segundo orden «x es un concepto equinumeroso a P» y «x es un concepto equinumeroso a Q» serán la misma. Todo número es pues una extensión que agrupa conceptos que son equinumerosos entre sí. Así, los conceptos de segundo orden «x es equinumeroso a los discípulos de Cristo» y «x es equinumeroso a las constelaciones del Zodíaco» comparten una misma extensión que acoge a todo concepto equinumeroso a ellos.

Podemos ver el peso que tiene en esta definición la Ley V; es por ella que podemos recoger bajo una misma extensión a todo concepto equinumeroso. Más abajo expondremos cómo define con precisión cada uno de los números.

La Ley V frente al Principio de HUme

La ley V, al igual que el principio de Hume, establece la equivalencia con una igualdad (entre extensiones) en uno de sus lados. A pesar de su similitud, la definición por extensión soluciona alguno de los problemas del Principio de Hume.

En primer lugar es su sobriedad. Frege no está introduciendo una noción realmente novedosa. Todo concepto, como un tipo particular de función que es, cuenta con un dominio: todos los objetos que la función acepta como argumento, es decir, para los que resuelve un valor. La extensión es una sección de ese dominio, aquellos argumentos para los que devuelve un valor verdadero. 

Además, la extensión es en sí un objeto más, fácilmente definible, que puede compararse con otros elementos del sistema. Incluso es posible que un conjunto o extensión de números forme parte de la extensión de un concepto de equinumerosidad. En otras palabras, es posible contar un conjunto de números, cosa difícil recurriendo al Principio de Hume. 

Aritmética de Frege

El número 0 y 1

Siguiendo estos principios, el número 0 se define por medio de un concepto N_{0} que enuncia la equinumerosidad entre conceptos tales como «x es un cuadrado redondo», «x es un número natural mayor que cuatro y menor que dos» o «x es un soltero casado», es decir, conceptos bajo los cuales no cae ningún elemento por ser contradictorios o, e términos de Frege, todo concepto de la forma «x no es igual a sí mismo«. Dado que en el lenguaje de Frege aspira a ser consistente y carente de contradicciones, la extensión de tal concepto es nula.

ε(x≠x) = 0.

El número uno surge del concepto N_{1} que podríamos parafrasear como «x es equinumeroso a N_{0}«, es decir, agrupa conceptos de extensión nula. De acuerdo a la Ley V todos los conceptos equinumerosos a N_{0} (conceptos de extensión nula) comparten una misma y única extensión. 

ε(x=0) = 1.

N_{2} reune a todos los conceptos equinumerosos tanto al concepto N_{0} como N_{1}.

ε((x=0) ∧ (x=1)) = 2.

El ancestral

Hasta ahora hemos definido número como la extensión de un concepto de conceptos. Para completar la definición lógica de número natural es necesario poner en relación estos números, de manera que pueda declarar relaciones tales como «ser mayor que» o «anterior a».

Frege parte de una noción desarrollada por él mismo y que más adelante llegaría a ser conocida como el ancestral. Este término busca evocar los vínculos biológicos de antepasado o padre, aplicados a la sucesión numérica.

Comencemos por su expresión formal. Un objeto z tiene a a por ancestral si P(z) para toda propiedad P que cumpla dos condiciones:

  • a satisface PP(a).
  • Para todo objeto indeterminado x e y, si P(x) y R(x,y), entonces P(y).
Recurriendo al moderno lenguaje de Lógica de Segundo Orden a es el ancestral de z si:
∀P[(P(a)) ∧ ∀x∀y[(P(x)) ∧ (R(x,y) →P(y))]] → P(z)

Este aserto afirma que un objeto tiene por ancestral a si cumple toda propiedad hereditaria que satisface a. Una propiedad hereditaria implica que si existe una relación R(x,y), el objeto y heredará tal propiedad si la cumple x. En otras palabras, a es un ancestral de z si z es a o si es uno de sus descendientes.

Los números naturales

Una relación ancestral depende tanto de la relación R(x,y) como del elemento primordial a. Si por ejemplo la relación es un concepto tal que «x es el padre de y» y además declaramos que a es algún tatarabuelo de z podríamos interpretar esta relación ancestral como la clase de los antepasados de z hasta a. Al fin y al cabo, la definición de «antepasado» acoge una serie de propiedades heredables tales como compartir apellido o la existencia de vínculos genéticos.

Evidentemente, para la definición de los números natural nos interesa otro tipo de relación y elemento primordial. Frege propone S(x,y) = «y es el sucesor de x«. Ser el sucesor de no es más que afirmar que y es el número de un concepto de número x al que se le ha añadido un objeto nuevo. Obviamente el elemento primordial no puede ser otro que el número 0.

∀P[(P(0)) ∧ ∀x∀y[(P(x)) ∧ (S(x,y) →P(y))]] → P(z)

Todos los objetos que satisfagan todas aquellas propiedades hereditarias P que cumpla 0 bajo la relación «sucesor de x» formarán una misma clase: la clase de los números naturales.

Conclusión

A partir de estos principio Gottlob Frege llegaría a deducir varios de los principales teoremas de la Aritmética, incluidos los Axiomas de Peano que definen a los números naturales. Así, Frege pretendía integrar la matemática con la lógica y asentar sus teoremas sobre la base de razonamientos generales que también eran aplicables en el discurso lógico-racional. 

Sin embargo, toda su obra se vino abajo poco antes de publicar el segundo volumen de los Grundgesetze. Bertrand Russell descubrió una terrible contradicción en su sistema: la conocida en la actualidad como Paradoja de Russell. Será el tema de nuestro próximo artículo.

Lecturas Recomendadas

– Stanford Encyclopedia of Philosophy. Frege’s Theorem and Foundations for Arithmetic.

– Reyes, E. C. (1953) Gottlob Frege. The Foundations of Arithmetic. 

– Ebert, P. A. y Rossberg, M. (2013) Gottlob Frege: Basic Laws of Arithmetic.

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