Brouwer y la crítica intuicionista

David Baños Abril

Si a inicios del siglo XX la matemática se encontraba en un estado de profundo desasosiego, Brouwer añadiría aún más agitación al debate dirigiendo una crítica contra algunos de los principios lógicos más elementales tradicionalmente usados en la demostración matemática.

Matemática constructivista

Pensemos en una conjetura irresuelta, por ejemplo la Conjetura de Goldbach, uno de los problemas abiertos más viejos de la matemática. Tal conjetura afirma que todo número par mayor que dos es igual a la suma de dos números primos. Por ejemplo 4 = 2+2 o 18 = 7+11. Hasta el día de hoy (después de casi 300 años) no se ha encontrado ningún número par que no cumpla con la conjetura. Pero dado el carácter infinito de los números enteros, esto no demuestra que la conjetura sea cierta. ¿Cómo podríamos alcanzar una demostración? Es en este fleco el que queda abierto para intensos debates.

Demostraciones débiles

En esta serie hemos visto en varias ocasiones hacer uso de la reducción al absurdo como prueba de la existencia de un objeto matemático. Siguiendo el ejemplo anterior, supondríamos que la conjetura de Goldbach es falsa, para luego demostrar que esta premisa nos arrastra hacia una contradicción. Entonces necesariamente debemos deducir que la conjetura es cierta. Sin embargo, tal afirmación de veracidad parece un tanto endeble. No somos capaces de «experimentar» la conjetura como cierta. Otra forma de alcanzar la demostración podría ser la construcción de un algoritmo que, para todo número par mayor de dos, devuelva dos primos cuya suma iguala a dicho número. Podemos coincidir en que tal demostración resultaría más contundente.

Perspectiva construtivista

Muchos matemáticos se han mostrado críticos con el abuso de cierto tipo de demostraciones débiles. Algunos han sugerido que no basta con probar la consistencia (no contradicción) de una entidad matemática para llegar a afirmarla, sino que es necesario construirla como tal. Tales perspectivas se han venido conociendo como constructivistas y han sido defendidas por matemáticos, principalmente franceses, de la talla de Poincaré o Lebesgue. Dado que muchas de estas demostraciones débiles involucran propiedades proyectadas sobre un conjunto infinito de elementos para los que es imposible demostrarlos a todos, muchos constructivistas rechazan el infinito en acto. El intuicionismo, que discutiremos podría considerarse una corriente nacida y alimentada por estos planteamientos constructivistas.

El intuicionismo

A inicios del siglo XX, la matemática aún no había salido de la confusión generada por las paradojas. Aunque puedan parecer debates específicos acotados secciones muy periféricas de la matemática, las paradojas amenazaban con desatar una gran crisis entre las ciencias exactas. Incluso tras el esfuerzo alcanzado por Zermelo y Fraenkel, muchos matemáticos seguían sin estar convencidos acerca siquiera de la posibilidad de encontrar un fundamento último para toda la Matemática. 

Una vez abierta la caja de Pandora del revisionismo, nuevas posiciones revolucionarias comenzaron a ganar adeptos. El debate giraba en torno a la naturaleza de los objetos matemáticos, así como en la práctica misma de las ciencias exactas a partir de la cual poder justificar tales objetos. Es aquí donde entra la figura de L. E. Jan Brouwer, un matemático holandés, con un admirable interés por cuestiones profundas de la filosofía matemática. En este artículo buscamos mostrar como las críticas intuicionistas de Brouwer tuvieron un profundo impacto en el debate que tuvo lugar en los años 20 sobre los fundamentos últimos de la Matemática.

Intuicionismo

A partir de 1907, Brouwer comienza a publicar una serie de artículos criticando algunos de los abusos del logicismo. En estos artículos perfila un nuevo enfoque en torno a los procedimientos matemáticos. Brouwer consideraba que la matemática era un acto dado en el pensamiento. El intuicionismo rompe por completo con las tendencias platónicas de muchos matemáticos. No existe un mundo matemático allá fuera al que podamos acceder haciendo uso de la razón. La matemática es una producción intelectual humana.

El carácter confiable y exacto de la matemática no se debe a los formalismos del lenguaje simbólico. Aunque es posible verbalizar las reglas que permiten demostrar un teorema, el uso de un lenguaje, ya sea natural o formal, que «registre» esta actividad matemática no deja de ser una mera herramienta auxiliar destinada a la comunicación. El acto matemático ocurre en la mente como un todo indiferenciado, no gradualmente al modo de un algoritmo. Podemos decir que mientras para los logicistas, el lenguaje (en concreto el lenguaje lógico sujeto a reglas estrictas de producción) da lugar a la matemática, para el intuicionista lenguaje y matemática son fenómenos independientes.

Crítica al logicismo

La lógica desempeñaba su papel describiendo los patrones lingüísticos que permiten emerger o reconstruir el acto matemático mental. Aun así, siempre existiría una brecha insalvable entre las intuiciones matemáticas y los lenguajes simbólicos que pretender expresarlas con precisión. Para el logicista, la expresión A→B podría parafrasearse como «siendo A un premisa demostrada como verdadera, podemos deducir que B es también verdadera». Para un intuicionista, la deducción ciega no tiene cabida, las premisas no deben ser exclusivamente verdaderas, sino también conocidas y concebidas. No es posible pues, alcanzar una verdad matemática por medio de la manipulación exclusiva de simbólicos. El intuicionista afirmaría más bien que «la construcción de A puede continuar desarrollándose en B«.

 -La cuestión acerca de dónde procede la exactitud de la matemática es contestada distintamente desde ambos lados; el intuicionista dice: en el intelecto humano, el formalista: en el papel – 

A. E. J. Brouwer. Intuicionismo y formalismo. 1913

Paradojas e intuicionismo

El proyecto logicista buscaba la eliminación de toda contradicción, es decir, asegurarse que todo sistema lógico-deductivo propuesto, que incluye axiomas y reglas de inferencia, cumpla la propiedad de consistencia. Brouwer advertía que la evitación de toda forma de expresión paradójica implica excluir la claridad con la que «visualizamos» la naturaleza contradictoria de las paradojas. Tal manifestación inevitablemente se pierde en los lenguajes formales consistentes. El lenguaje lógico no puede pues acotar la totalidad de la intuición matemática. Es más, para Brouwer, la causa última de las paradojas es precisamente la extensión de las formalidades lingüísticas a las intuiciones matemáticas.

El Principio de Tercio Excluso

En tanto que una verdad matemática se considera una construcción intuitiva en acto, no es posible afirmar desde el intuicionismo que un teorema matemático sea, o bien verdadero o bien falso, al menos antes de que este tome forma como operación mental. Como se mencionó anteriormente, no existe un mundo platónico de objetos matemáticos por descubrir. Como consecuencia, el intuicionismo niega el Principio de Tercio Excluso (A∨¬A), esto es, la afirmación de que para todo teorema matemático o bien es posible alcanzar una demostración o bien su imposibilidad. Este rechazo es una de las características que definen la llamada lógica intuicionista. Para Brouwer, tal principio es consistente pero no válido, no ayuda en la comprensión de un teorema matemático.

Es por ello que, para un intuicionista, problemas matemáticos irresueltos, como por ejemplo la Conjetura de Goldbach, tienen, por el momento, un valor de verdad indeterminado. Si no existe una construcción que lo demuestre, ni una que lo refute, no cabe por el momento suponer que la conjetura sea verdadera o falsa.

Negación intuicionista

Para Brouwer, ¬A, antes que implicar que el teorema es falso, más bien expresa la imposibilidad de construir A, o, que toda construcción de A resulta en un absurdo. De la misma manera, que un teorema sea consistente no implica necesariamente que este sea cierto. En pocas palabras, el carácter de certeza bajo la perspectiva intuicionista no se debe a un cálculo lógico que resuelva el valor de verdad de los teoremas, sino que tal teorema pueda ser reconstruido o concebido intuitivamente.

Pensemos en todas las demostraciones vistas a lo largo de esta serie que recurren a la prueba por reducción al absurdo: suponemos que ¬A; demostramos que ¬A conlleva una contradicción, entonces deducimos A. Este último paso es rechazado por el intuicionismo. Deducir A partiendo del absurdo de ¬A no ofrece una comprensión de A. Es por eso que el intuicionismo mira con desconfianza todas las demostraciones de existencia alcanzadas por medio de la reducción al absurdo.

Conclusión

Para poner en contexto las críticas dirigidas por el intuicionismo convendrá conocer a su rival intelectual: el formalismo. Al igual que el intuicionismo, el formalismo, desplegado en el Programa de Hilbert, surgió como respuesta a las paradojas que amenazaban los fundamentos de las matemáticas. Será este programa el tema de nuestro próximo artícul0.

Lecturas Recomendadas

– Brouwer, L. E. J. (1908) The Unrealiability of the Logical Priciples

– Brouwer, L. E. J. (1913) Intuitionism and formalism

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