Cálculo Lógico
David Baños Abril
Este artículo lo dedicaremos al Cálculo Lógico, esto es, el lenguaje que surge al tomar las expresiones de la Lógica de Proposiciones y dotarlas de reglas explícitas que delimiten su uso. De esta manera haremos que la formación de proposiciones sea una operación mecánica.
La idea del Cálculo Lógico
En el primer artículo de esta serie apuntamos a que el desarrollo de la Lógica Matemática moderna pasaba por distanciarse de conceptos oscuros como son los de «idea» o «mente». La lógica debía distanciarse de los estériles debates acerca de cómo interpretar estos conceptos y centrarse en la simple manipulación de símbolos no interpretados. Los juicios mentales se tornarían en símbolos, las operaciones con ellos se asemejarían a un cálculo mecánico siguiendo reglas firmes sin ninguna ambigüedad.
El Cálculo Lógico consiste en hacer uso de las herramientas simbólicas vistas en el artículo previo y configurar con estas una suerte de álgebra simbólica que nos permita explorar sus posibilidades expresivas.
La verdad bajo la perspectiva del cálculo
En el Cálculo Lógico, la veracidad se interpreta simplemente como una propiedad de las proposiciones, una que puede tomar dos posibles valores. Desde una perspectiva estrictamente formal, nos es irrelevante si llamamos a esos valores verdadero y falso o 1 o 1/0, o cualquiera otra pareja de símbolos. El único principio que debe respetarse es que sean dos valores dicotómicos e incompatibles: cuando una variable cualquiera p valga 1, no podrá valer 0 y viceversa.
Lenguaje del Cálculo Lógico
Como hemos indicado arriba, nuestro objetivo es sistematizar el uso de la Lógica Proposicional dándole la forma de un lenguaje formal. Esto se lleva a cabo en tres pasos: Primero es necesario indicar los símbolos que utiliza nuestro lenguaje, es decir un alfabeto. Segundo será necesario establecer las reglas gramaticales de combinación de estos símbolos, de manera que solo permitamos expresiones correctamente formadas. Tercero, deberemos fijar aquellas expresiones que no solo sean gramaticalmente correctas sino que cumplan con alguna propiedad que interese en nuestro lenguaje lógico (de la misma manera que pseudopalabras castellanas como «palustro» o «clinpace» son gramaticalmente correctas pero no tienen ningún significado).
En este apartado nos centraremos en los dos primeros pasos.
Alfabeto
Comencemos por el alfabeto. Este constará de un conjunto de símbolos, aquellos ya vistos en el artículo previo. Serán siete: ∧, ∨, ¬, →, ↔, (, ), además de las letras minúsculas que representan proposiciones cualesquiera (p, q, c, …).
Como vimos en el artículo previo, estos conectores no son los únicos que pueden usarse. Es necesario indicar que el lenguaje lógico que formalizaremos aquí es una de tantas posibilidades. Pueden incluirse más o menos símbolos.
Reglas gramaticales
Las expresiones cuya formación se se ajuste a un conjunto de reglas gramaticales definidas, las llamaremos fórmulas. ¿Cuáles son estas reglas? Como será habitual en más de una ocasión, decretaremos estas reglas gramaticales haciendo uso de una definición inductiva. Esto es, determinamos las fórmulas más elementales posibles, para luego indicar las formas admisibles en las que podemos hacerlas más y más complejas.
Consideramos que toda variable, por ejemplo p o q, es una fórmula. Estas fórmulas elementales se conocen como fórmulas atómicas. Si A y B son fórmulas cualesquiera, las posibilidades en que podemos combinarlas se ceñirán a las siguientes: (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B) y ¬A. Estas fórmulas podrán aumentar de complejidad repitiendo cualquiera de las posibilidades previas.
Siguiendo estas reglas, obtendremos siempre fórmulas bien formadas, que es la designación en lógica para combinaciones de signos gramaticalmente correctas. Es evidente por tanto, que fórmulas como (p ↔ o (p ∧ ∧ q) no son fórmulas bien formadas.
Metalenguaje
Hemos usado letras mayúsculas para representar fórmulas cualesquiera de nuestro lenguaje de lógica proposicional. Se podrá comprobar como las letras mayúsculas no forman parte del alfabeto, y por tanto, las fórmulas donde aparecen NO son fórmulas de dicho lenguaje. Se trata pues de un metalenguaje que utilizamos para hablar del lenguaje lógico en cuestión, necesario para expresar fórmulas cualesquiera de dicho lenguaje. Así por ejemplo, la expresión metalógica (A ∧ B) → B puede representar infinitas fórmulas de nuestro lenguaje lógico, tales como (p ∧ q) → q o también [(p ∧ m) ∧ (q ∧ m)] → (q ∧ m).
Dado que buscamos principios generales para las fórmulas proposicionales, en este artículo y en los venideros, tenderemos a usar más este metalenguaje que al propio lenguaje lógico que estemos explorando.
Axiomas del Cálculo Proposicional
Sistema Lógico
Con las herramientas antes expuestas podremos fórmulas proposicionales. Ahora bien, el papel de la Lógica es explorar los juicios lógicos, aquellas verdades universalmente válidas. La expresión p ∧ ¬p es gramaticalmente correcta, pero… ¿Queremos incluir este tipo de expresiones contradictorias en nuestro sistema?
Es necesario ir más allá del lenguaje y disponer un Sistema Lógico restrictivo, que acoja solo aquellas fórmulas que en el artículo previo denominamos sintéticas o tautológicas; formulas que expresen juicios cuya veracidad es universal, independientemente de cómo interpretemos las variables. Expresiones como ¬¬A ↔ A o (A∨B) ↔ (B∨A).
Los axiomas
Para restringir el sistema a este tipo de fórmulas existen diferentes procedimientos pero el más generalizado es el uso del método axiomático. Los axiomas son fórmulas cuya utilidad radica en servir de sostén a todo el sistema lógico. Estos deben cumplir la propiedad que pretendamos generalizar a todo el sistema, a saber, que sean verdades lógicas universales. Luego se dispondrá de métodos deductivos a partir de los cuales generar otras fórmulas, las cuales, heredarán esa misma propiedad. Así nos aseguramos que nuestro sistema lógico acoge única y exclusivamente verdades lógicas.
Cada punto representa una fórmula bien formada. Algunas son fórmulas universalmente válidas (en azul); otras son fórmulas contingentes (en gris), aquellas que pueden ser verdaderas o falsas dependiendo de la interpretación de las variables. Por último aparecen fórmulas contradictorias (en rojo), siempre falsas. Los sistemas axiomáticos acuerdan un conjunto de axiomas que sean fórmulas tautológicas.
El conjunto de axiomas a elegir como fundamento del sistema puede variar, y de hecho cada manual y cada autor hacen uso de diferentes axiomas. Realmente cualquier fórmula tautológica puede ser utilizada como axioma. Eso sí, en vista de nuestros objetivos, el conjunto de axiomas debe ser lo suficientemente versátil como para poder deducir a partir de ellos todas las verdades universales posibles. Esto lo veremos con más detalle en el artículo previo. Además, conviene (aunque no es necesario) utilizar como axiomas aquellas verdades que sean intuitivas a nuestra comprensión.
Esquemas de Axiomas de la Lógica Proposicional
Aquí vamos a exponer los axiomas que aparecen en una de las obras clásicas de la Lógica Matemática: «Grundzüge der theoretischen Logik» (Fundamentos de la Lógica Matemática), de los matemáticos de principios de siglo David Hilbert y Wilhelm Ackermann, cuyas teorías hemos expuesto en otros artículos de este portal:
Son un total de cuatro axiomas:
1- (A ∨ A) → A
2- A → (A ∨ B)
3- (A ∨ B) → (B ∨ A)
4- (A → B) → ((Z ∨ A)→(Z ∨ B))
Como vemos son bastante sencillos y solo hacen uso de dos conectores, el disyuntivo y el implicativo. El tercero de los axiomas es simplemente la propiedad conmutativa de la disyunción.
Otra cosa a destacar es que no se trata realmente de axiomas del Cálculo Lógico proposicional, sino de esquemas de axiomas que representan infinitas fórmulas posibles de la Lógica Proposicional. Como mencionábamos más arriba, estas fórmulas no aparecen como tal en el sistema, sino que representan infinitas posibles fórmulas de la Lógica Proposicional.
Deducción
Reglas de Inferencia
Nuestro sistema lógico necesitará poder hacer uso de esos axiomas para generar una a una todas las fórmulas tautológicas posibles. Esta misión la cumplen las reglas de inferencia, cuya aplicación genera nuevas fórmulas en un proceso conocido como deducción. Toda fórmula del sistema que no sea un axioma (es decir, que sea resultado de una deducción) se conoce como teorema. La notación para indicar que una fórmula X es demostrada por el sistema es \vdash X.
Las reglas de inferencia fundamentales son dos:
– Regla de Sustitución: es posible sustituir cualquier símbolos de variable proposicional p, q, etc… por otro, siempre y cuando esta sustitución afecte a todas las apariciones de la variable.
– Modus ponens: si A es verdadero y lo es también A→B, entonces B es también cierto.
Las reglas de inferencia nos permiten alcanzar el resto de fórmulas tautológicas a partir de los axiomas. Estas fórmulas resultado de la deducción se conocen como teoremas.
No es necesario que la deducción de teoremas comience a partir de axiomas siempre. Puede comenzar también a partir de otras fórmulas siempre que estas sean teoremas que hayan sido demostrados con anterioridad.
Consecuencia lógica
En aquellos casos en que siempre que las premisas sean verdaderas, lo es también la conclusión, estamos hablando de una consecuencia lógica. El modus ponens es un esquema deductivo que expresa que cuando las premisas (A → B) y A sean verdaderas, entonces la consecuencia B es también verdadera. Si hiciéramos una tabla de verdad, veríamos que en todos los casos en que las premisas valgan todas 1/V, la consecuencia valdrá también 1/V. El modus ponens permite ejemplificar consecuencias lógicas, fórmulas cuya veracidad es transferida desde las premisas. En notación lógica es:
Demostración
Por último, una deducción es una cadena de fórmulas X_{1},X_{2},X_{3}… X_{n}, las cuales o bien son axiomas del sistema o bien son teoremas que han sido generados haciendo uso de las reglas de deducción. Decimos que X_{1},X_{2},X_{3}… X_{n} es la deducción de su última fórmula X_{n}. Todo teorema del sistema en cuestión es contiene su propia demostración, teniendo a los axiomas como punto de partida.
Solidez del sistema
La solidez es una propiedad que afirma que las deducciones son siempre consecuencias lógicas. La razón se encuentra evidentemente del uso de las reglas del modus ponens y de la regla de sustitución, los cuales transmiten la veracidad, sobre axiomas que son ciertos. El resultado es que los nuevos teoremas generados heredan esa propiedad de validez. Así nos podemos asegurar que todas las fórmulas del sistema expresen verdades universalmente válidas sin necesidad de interpretarlas ni comprobarlo por medio de tablas de verdad.
Cuando nuestro sistema genera una fórmula A por medio de reglas de deducción (lo que es una simple manipulación de símbolos) lo expresamos así:
Así, la solidez afirma que:
Lecturas Recomendadas
– Delgado, V. M. (1972) Lecciones de lógica (I).
– Kolmogórov, A.N. y Dragalin, A.G. (2013) Introducción a la lógica matemática.
– – Hilbert, D. y Ackermann, W. (1928) The Principles of Mathematical Logic.
