El Axioma de Elección

Los conjuntos cantorianos aspiraban a ser el objeto matemático que sostendría el peso de toda la Aritmética, pero los problemas que arrastraban obligaron a reformular la teoría. Salvar la obra de Cantor suponían invocar nuevos principios matemáticos a partir de los cuales sostener los conjuntos y los descubrimientos sobre el continuo. El Axioma de Elección fue uno de esos principios.

David Baños Abril

Brechas abiertas

Los descubrimientos de Cantor habían dejado un impacto apabullante en la matemática contemporánea. Ya sea para defenderla o buscando contradecirla, nadie había ignorado su obra. Sin embargo, no es de extrañar que un trabajo de esta envergadura hubiese dejado algunos huecos sin cerrar, tal y como vimos en el artículo anterior.

Cantor, aquejado de demencia en sus últimos días, comenzó a preferir el debate con teólogos antes que con matemáticos y no supo resolver estos frentes abiertos. Serían las generaciones siguientes las que heredarían la misión de refundar la Teoría de Conjuntos.

El Teorema de Zermelo

Era evidente para muchos matemáticos contemporáneo que el primer paso lógico para salvar la obra de Cantor fuese lograr una demostración del buen orden de los conjuntos. Recordamos que un conjunto bien ordenado es aquel que tanto el conjunto completo como todos sus subconjuntos deben tener un elemento mínimo. Es una propiedad característica del conjunto de número naturales: todos los números se encuentran vinculados por una relación de «menor que» y «mayor que» al resto de números.

Demostrar el buen orden

Cantor consideraba al buen orden como un principio elemental del pensamiento que no requería de una demostración formal, pero tal alegato no había logrado convencer a la comunidad matemática. No eran pocos los que exigían una demostración de que su conjunto de cardinalidad ℵ_{1}, el conjunto de los reales, pudiese bien ordenarse, toda vez que había sido el criterio que el mismo Cantor reivindicó para todo conjunto. Tal exigencia no estaba exenta de justificación: piénsese en un subconjunto de cardinalidad ℵ_{1} como es el intervalo abierto (0,1); no es muy evidente que exista en él un elemento mínimo.

 -Me parece sumamente deseable obtener una prueba directa de este notable aserto de Cantor, tal vez indicando efectivamente un ordenamiento de los números tal que dentro de cada subconjunto pueda señalarse un primer número.- 

David Hilbert. Gesammelte Abhandlungen. Recopilado en 1933.

Zermelo

En el año 1900 David Hilbert, afamado matemático alemán, dio la bienvenida al nuevo siglo proclamando los que serían, a su juicio personal, los problemas matemáticos irresueltos que más impacto tendrían en los años venideros. El primero de todos ellos era la Hipótesis del Continuo. Un joven matemático también germano, Ernst Zermelo, cogería el guante lanzado por Hilbert. Cuatro años después de la publicación de los problemas del siglo, Zermelo dio con un teorema que demostraba que todo conjunto puede bien ordenarse.

Función selectora

El llamado Teorema de Zermelo o Teorema del Buen Orden postula que todo conjunto puede ordenarse de manera que exista en él un elemento mínimo.

Para demostrar el teorema supondremos que dados varios conjuntos, existe una función que devuelve para cada uno de ellos uno de sus elementos. En otras palabras, dicha función selecciona un elemento, el que sea, de cada conjunto. Para cada uno de esos subconjuntos A_{i} la función selectora φ(A_{i}) = a_{i} tal que a_{i}∈A_{i}. Suponer que existe tal función invoca el llamado Axioma de Elección, del que hablaremos más adelante.

La demostración del teorema se resolverá en tres partes:

  • Es posible formar subconjuntos bien ordenados (cadenas) de un conjunto.
  • El orden de tales cadenas es equivalente en todas ellas.
  • Existe una de tales cadenas que acoge a todos los elementos del conjunto.

Demostración del teorema I

La función selectora φ(M) toma un elemento r cualquiera de un conjunto cualquiera M. La misma función puede aplicarse sobre el conjunto que resta de M al quitar r. Y así sucesivamente. Todos los r que devuelve la función forman un conjunto, que llamaremos R. En otras palabras, podemos decir que la función φ(M) crea un subconjunto R bien ordenado, al devolver elementos r tomando como argumento los conjuntos que resultan de quitar de M a los elementos que ya son miembros de R (es decir, los elementos que son predecesores de r). A dicho conjunto lo denotamos como

\left \{M\setminus \left \{ x∈R : x<_{R}r \right \}\right \}

Los elementos de R se encuentran bien ordenados siguiendo un orden que llamaremos <_{R}. Este <_{R} simplemente afirma que el conjunto R es una cadena lineal en la que los elementos se suceden unos a otros ocupando cada uno de ellos una posición determinada, la que sea.

A partir de un mismo conjunto M pueden construirse sucesiones R diferentes, en función de los elementos que la forman y la posición que toman en el buen orden. Pensemos en el primer elemento α_{0} de una cadena que llamaremos R_{α} ordenada según <_{α}

α_{0} = φ(\left \{M\setminus \left \{ x∈R_{α} : x<_{α}α_{0} \right \}\right \})

Dado que el conjunto \left \{ x∈R_{α} : x<_{α}α_{0} \right \} es vacío (no hay ningún elemento en R_{α} que sea menor que α_{0} puesto que suponemos que es un primer elemento) podemos afirmar que 

α_{0} = φ(M)

y esto será cierto para cualquier cadena R. En conclusión, todas las cadenas R tienen un mismo elemento como primer elemento, independientemente del tipo de orden que tengan.

Demostración del teorema II

Buscaremos demostrar ahora que los órdenes de las R cadenas son equivalentes: mismos elementos se encuentran en la misma posición. Mostraremos como suponer lo contrario conlleva una contradicción.

Sean R_α y R_β dos cadenas distintas ordenadas por <_α y <_β respectivamente. R_α establece una aplicación inyectiva en R_β.

La premisa inicial implica que existe un primer elemento α_{d} en R_α diferente a su pareja en la misma posición β_{d} en R_β. Los elementos anteriores a α_{d} forman una sección inicial de R_{α} que es igual a la sección homóloga en R_{β}. Por la definición de la función φ(x) cada nuevo elemento de la cadena depende de los que ya se encuentran en ella y dado que son los mismos en ambas cadenas, necesariamente los sucesores α_{d} y β_{d} deberán ser los mismos; el argumento de φ(x) es igual para ambos.

Esto contradice la premisa de que α_{d} era el primer elemento diferente. Es por ello que dos cadenas R_{α} y R_{β} podrán diferir en sus número de elementos, pero el orden es equivalente. También podemos decir que si R_{α} es más pequeño que R_{β} necesariamente R_{α} es una sección inicial de R_{β} (R_{α} ⊂ R_{β}).

Demostración del teorema III

El último paso de la demostración implica afirmar que existe una cadena bien ordenada R_{c} que acoge a todos los elementos de M. Supongamos, (nuevamente recurriendo a la contradicción) que tal cosa no es así, y que existen elementos de M que no forman parte de R_{c}. Tales elementos que no pertenecen a ninguna cadena forman el conjunto M*. Pero la función selector acepta M* como argumento, que φ(M*) de manera que R_{c} ∪ \left \{φ(M*)\right\} resultaría en una nueva cadena negando la premisa de que M* no perteneciese a ninguna cadena. Dado que R_{c} acoge a todos los elementos de M, ambos conjuntos son equivalente. M es un conjunto cualquiera y acabamos de demostrar que es posible establecer en el un buen orden.

El Axioma de Elección

La importancia de esta demostración que acabamos de exponer no debe ser subestimada. El Teorema de Zermelo salvó la obra de Cantor. Justificó el tratamiento del conjunto potencia de los naturales como conjunto, permitiendo así integrar bajo una misma teoría consistente a los números ordinales y a los cardinales, o lo que es lo mismo, al principio de buen orden y al Teorema de Cantor.

El lector atento debe haber advertido que toda la demostración gira entorno a la función φ(x), la función selectora que tomaba conjuntos como argumento para devolver un elemento cualesquiera que perteneciese al conjunto. Suponer que exista tal función es lo que Zermelo denominó como Axioma de Elección, un axioma que daría lugar a polémica.

Descripción del Axioma de Elección

El axioma puede interpretarse de diferentes formas. Zermelo lo entendía como la afirmación de la existencia de un conjunto más pequeño que intersectase con todos los conjuntos de una colección de conjuntos. En el caso de la demostración de arriba, cada vez que φ(x) «introducía» un elemento en R se generaba un nuevo conjunto de elementos pertenecientes a M y no a R, sobre el que se podía aplicar nuevamente la función φ(x).

Equivalencias al Axioma de Elección

El Teorema de Zermelo sobre el buen orden y el Axioma de Elección están pues íntimamente relacionados. Lo cierto es que suponer uno implica necesariamente el otro. Bien podríamos tomar el buen orden como axioma y derivar de el la función selectora.

También uno no debería extrañarle que exista una íntima relación entre el Axioma de Elección y el Principio de Inducción matemática. Este principio era tomado como axioma en el sistema de Peano y justificaba la infinitud de los números naturales.

El Principio de Inducción afirma que, si S es un subconjunto de los naturales que incluye al número uno (1 ∈ S) y por el que para todo s ∈ S implique s +1 ∈ S entonces tal conjunto S acoge a todo número natural: S=\mathbb{N}. Es posible demostrar mediante el Axioma de Elección que no existe ningún número natural fuera de S (\mathbb{N}\setminus S = Ø).

Polémica en torno al Axioma de Elección

El Axioma de Elección parece bastante intuitivo y poco peligroso, pero hubo matemáticos contemporáneos que se opusieron a él, entre ellos, el mismo Poincaré que había rechazado abiertamente los trabajos de Cantor. Las críticas iban desde aquellos que no veían justificada su aplicación sobre conjuntos infinitos, hasta los que rechazaban el supuesto como una introducción ad hoc destinada a salvaguardar los conjuntos de Cantor. El Teorema de Zermelo era consistente, pero el hecho de que el Axioma de Elección pudiese ser utilizado para algo tan contraintuitivo como ordenar los números reales causó un gran revuelo.

La mayoría de los opositores al Axioma de Elección partían de posiciones logicistas que entendían los conjuntos como agrupaciones de elementos dadas en virtud de una regla lógica, un predicado (el llamado Principio de Comprehensión). El Axioma de Elección afirma que existe una función que selección un elemento cualquiera de cada parte de un conjunto, pero no especifica en virtud de qué regla se selecciona uno u otro elemento.

La defensa de Zermelo

Zermelo, así como otros muchos matemáticos contemporáneos, se encontraban más cercanos a una idea de conjunto alejada de la lógica y basada en la combinatoria de elementos, y por ello, eran mucho más proclives a aceptar el axioma. 

Dado su calidad de axioma, Zermelo no pretendía demostrarlo. Defendió el axioma principalmente sobre dos puntos. Uno, que el axioma había sido usado reiteradamente por muchos matemáticos antes que él, si bien de forma no explícita. El segundo es que, tal uso común sugería que se trataba de un principio autoevidente. Zermelo llegó a presentar un trabajo en el que mostraba como sus rivales habían recurrido en sus propios trabajos al axioma o algún teorema derivado de el.

Conclusión

El Axioma de Elección había llegado para quedarse. Su uso se había generalizado tanto en múltiples campos de la matemática que la polémica surgida en torno a él pronto se disipó. Los años demostrarían que tal polémica había resultado inútil: el Axioma de Elección resultó completamente inofensivo y su presencia en un sistema axiomático no conlleva ninguna contradicción que no estuviera en el sistema ya sin él. En el artículo venidero veremos como el Axioma de Elección se unió a otros axiomas para fundamentar la Teoría de Conjuntos: los llamados Axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Lecturas Recomendadas

– Torretti, R. (1998) El paraíso de Cantor: La tradición conjuntista en la filosofía matemática.

– Ferreiros, J. (1999) Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics.

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