El Continuo matemático

David Baños Abril

Los conjuntos cantorianos tenían como objetivo estudiar las propiedad de los dominios numéricos como totalidades. Antes de Cantor, había sido una tarea dificultosa establecer los fundamentos de la aritmética, especialmente con todo lo referido a las cantidades irracionales y el fenómeno del continuo. En este artículo veremos qué propiedades de los números reales fueron vislumbradas haciendo uso de las nociones de conjunto y cardinalidad.

Cardinalidad de los racionales

Nuestra tarea en este artículo consistirá en aplicar los conceptos de cardinalidad y transfinito a los conjuntos numéricos. Empezaremos por los números racionales, la cardinalidad del conjunto \mathbb{Q}. Recordemos que, aunque el conjunto de los racionales es denso (dados dos racionales cualesquiera siempre existe entre ellos un racional diferente a ambos), tal conjunto no es continuo. La existencia de irracionales como \sqrt{2} o π demuestra que existen discontinuidades en la recta de los racionales.

Debido a la propiedad de densidad, el conjunto de los racionales no tiene un elemento que sea el más pequeño de todos como sí ocurría con los naturales. Piénsese por ejemplo en el intervalo entre \frac{1}{2} y 1. No tiene mucho sentido preguntarse cuál es el número inmediatamente posterior a \frac{1}{2}. A pesar de esto, es posible bien ordenar los racionales siguiendo un orden como el de la imagen.

\frac{1}{1},  \frac{2}{1},  \frac{1}{2},  \frac{1}{3},  \frac{2}{2},  \frac{3}{1} \cdots

Tal orden resultaría en una sucesión evidentemente infinita, en la que, con total seguridad, aparecería todo racional posible. Dado que es posible indexar cada racional con un número natural (es decir, establecer una biyección), podemos afirmar, de nuevo de forma poco intuitiva, que la cardinalidad de los números racionales es la misma que la de los naturales, es decir, [\mathbb{Q}] = ℵ_{0}.

El continuo y los reales

Cantor consideraba en un primer momento que, al igual que con los racionales, era posible una biyección entre los números naturales y los números reales \mathbb{R} (racionales e irracionales), es decir, que ambos compartiesen una misma cardinalidad. El descubrimiento de que no era este el caso es el mayor de los logros de la teoría conjuntista de Cantor.

La recta continua

La recta de lo reales también se conoce como recta continua, dado que no existen en ella discontinuidades. Si definimos, tal y como suele hacerse en la escuela, una línea como una sucesión de infinitos puntos, y teniendo conocimiento de la existencia de diferentes cantidades infinitas podemos preguntarnos ¿Cuántos puntos existen en una línea recta? ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de los reales? Debemos saber, como demostramos en la imagen de abajo, que esta pregunta es independiente de la longitud de la recta. Puede parecer poco evidente, pero toda recta tiene una misma «cantidad» de infinitos puntos.

Para cualquier punto q de la recta Q que alcance s, existirá un punto de corte p sobre la recta P

Valiéndonos de esto podemos afirmar que la cantidad de números reales es la misma, tanto para el conjunto total \mathbb{R} como para cualquiera de sus subconjuntos, por ejemplo, el del intervalo (0, 1)

Definir los reales

Antes de considerar la cardinalidad de los reales, será conveniente establecer una definición precisa de la naturaleza de este dominio numérico. A finales del siglo XIX la tarea no era nada fácil, puesto que aunque en geometría uno se topa constantemente con irracionales, un definición debida exclusivamente a principios aritméticos se torna compleja. Si se han definido los racionales a partir de los enteros, la idea principal consiste en partir de los primeros para precisar las propiedades del continuo. Veremos dos ejemplos contemporáneos, las «cortaduras» de Dedekind, matemático alemán con el que Cantor mantuvo una relación estrecha, y la definición establecida por el propio Cantor.

Las cortaduras de Dedekind

Sabemos que los números racionales no ocupan toda la recta real. Entre ellos existen «brechas» en las que se encuentran los números irracionales. Nos aprovecharemos de esta imagen para comprender el concepto de cortadura (Schnitt) debido al matemático alemán Richard Dedekind a finales del siglo XIX.

La cortadura es simple: consiste en definir un número c en virtud de los dos conjuntos que resultan al «cortar» la recta por dicho número.

Subconjunto A: todo número a de este conjunto será racional y menor que c.

A = \left \{ a  \epsilon  \mathbb{Q}: a< c\right \}

Subconjunto B: todo número b de este conjunto será racional y mayor o igual que c.

B = \left \{ b  \epsilon  \mathbb{Q}: b\geqslant c\right \}

Como vemos, el número dado c se haya en el segundo de los conjuntos.

Es evidente que todo número a del subconjunto A será más pequeño que cualquier número b del subconjunto B.

Cortadura de Dedekind sobre la recta de los reales.

Un número c determina una cortadura que divide la recta de los racionales en dos subconjuntos A y B. Estos conjuntos no tienen elementos en común. Si c es racional, pertenece al subconjunto B como su elemento más pequeño.

A cumple además dos propiedades. La primera es que todo número que sea menor que un número a perteneciente a A, formará también parte de A, es decir, el conjunto se extiende hasta el infinito por el extremo inferior. La segunda es más interesante aún: para todo número de A existe otro que pertenece también a A y es mayor que el primero. En otras palabras, A no tiene un elemento mayor, pues siempre es posible encontrar un racional aún más grande, pero siempre menor a c. Esto es una consecuencia de la densidad de los racionales.

Definiendo los reales

Podemos utilizar la cortadura para definir cualquier cifra c. A cada cortadura corresponde un número y viceversa. Cuando el número a definir es un racional, este es el menor elemento del conjunto B, o lo que es lo mismo, el punto al que tienden los términos de A pero nunca alcanzan.

Pero la cortadura nos permite ir más allá y definir también los números irracionales. Dado que los subconjuntos los forman números exclusivamente racionales, el irracional no se encuentra en ninguno de ellos, sino en la brecha entre ambos. A cada número irracional le corresponde una única partición de los racionales, por lo que dicho número queda completamente determinado por la cortadura.

Dado que un subconjunto determina el otro subconjunto, normalmente solo es necesario precisar la cortadura por medio del primer conjunto A de infinitos elementos. Así, el irracional \sqrt{2} queda definido como el conjunto A tal que:

A = \left \{ a  \epsilon  \mathbb{Q}: a^{2}< 2\right \}

Conjuntos racionales

Esta definición es realmente poco constructiva, puesto que no hay manera de precisar qué racionales exactamente se vinculan a qué número de la recta continua. Pero como veremos más adelante, definir los reales en términos de subconjuntos de los racionales resultará muy útil.

La definición de Cantor de los reales

La definición de Cantor recurre a las llamadas sucesiones de Cauchy, establecidas por el matemático francés 70 años de las investigaciones de Cantor. Se trata de sucesiones de infinitos números racionales que convergen en un punto, es decir, se acercan tanto como se desee, sin llegar nunca a alcanzar, un valor conocido como límite. Por ejemplo la siguiente sucesión infinita se aproxima cada vez más a π.

3,  3.1,  3.14,  3.141,  3.1415,  3.14159 \cdots

Evidentemente π como tal no se incluye en la sucesión dado que su expresión es infinita. Pero podemos encontrar en ella un racional que diste de π tan poco como podamos imaginar.

Sucesiones de racionales

Esta sucesión de racionales tiene tantos términos como infinitos números naturales, de manera que podemos establecer una equivalencia entre una sucesión y una función matemática s(n) = q que asocia a cada número natural n un término q de la sucesión. Llamaremos a tal número natural el índice del término.

q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4} \cdots q_{n}

Como se apuntó antes, Cantor recurre a sucesiones de números racionales, de manera que q∈\mathbb{Q}. Además las sucesiones deben de cumplir una propiedad que no es más que la formalización de lo que apuntamos previamente acerca del límite. Dado un valor racional ε, existe en la sucesión un término de índice N a partir del cual todos los términos que vienen se separan unos de otros una distancia menor a ε. Y esto será así por pequeño que sea ε. La propiedad fundamental que distingue a la sucesión de Cauchy es que no implica simplemente que la distancia entre los inmediatos sucesores de N sea menor que ε, sino que es menor a la distancia existente entre cualesquiera sucesores de N, por mucho que disten sus índices.

En el ejemplo de la sucesión convergente a π:

3,  3.1,  3.14,  3.141,  3.1415,  3.14159 \cdots

dado un valor ε = 0.001 vemos que a partir del término de índice 4, a saber, q_{4} = 3.141, la diferencia entre cualesquiera términos a partir de q_{4} (por ejemplo q_{4571}  –  q_{9} ), es menor que 0.001.

Definir reales por medio de racionales

Dada estas propiedades es fácil visualizar que una sucesión de Cauchy siempre converge en un punto, un límite que llamaremos b.

\displaystyle\lim_{n \rightarrow ∞ }  s(n) = b

El atributo que destaca Cantor es que estos límites podían ser irracionales (como en nuestro ejemplo de π), de manera que las sucesiones de infinitos racionales determinaba de forma inequívoca un real de forma precisa. Podemos por tanto establecer una equivalencia entre una sucesión de Cauchy de racionales con cualquier punto del continuo.

Conjuntos y el continuo

La parte final del razonamiento implica considerar la sucesión dada como un conjunto. Dado que estas sucesiones tienen tantos términos como infinitos números naturales, los conjuntos que resulten de ellas tendrán una cardinalidad de ℵ_{0}. Notar las similitudes con la definición de Dedekind: tanto él como Cantor definen los reales en su equivalencia con un conjunto infinito de números racionales.

Estos conjuntos son subconjuntos del conjunto de los racionales. Es por ello que el número de conjuntos/sucesiones será igual a [℘\mathbb{Q}], el conjunto de los subconjuntos de \mathbb{Q}. Por el Teorema de Cantor visto en el artículo previo, sabemos que el número de posibles subconjuntos de un conjunto de cardinalidad ℵ_{0}, como es el caso del conjunto de los racionales, es mayor que ℵ_{0}. Y en virtud de la equivalencia entre subconjuntos infinitos de racionales y valores de la recta real debemos concluir que el número de puntos de la recta continua es infinito, pero un infinito mayor que ℵ_{0}, un cardinal que en el artículo previo denotamos como ℵ_{1}. Por tanto, es imposible establecer una biyección entre los números naturales o racionales, y los números reales. Este es sin duda el descubrimiento que haría inmortal a Georg Cantor.

Demostración por diagonal

Que la infinitud de los números reales es mayor al de los números naturales puede demostrarse recurriendo al argumento de la diagonal que hemos visto en el artículo previo. Si el número de reales fuera igual al de los naturales, podríamos indexar cada real con un natural y construir una tabla bidimensional.

Pero, para cualquier tabla como esta que se organice, podremos generar un número φ que, siendo real, no se encuentra en la tabla. Tal número será distinto a todos los de la tabla en al menos un dígito.

La Hipótesis del Continuo

Aunque la llamada Hipótesis del Continuo es un tema amplio, apuntaremos aquí un esbozo rápido del problema. Cantor afirmaba que el nuevo cardinal transfinito ℵ_{1} es efectivamente el cardinal inmediatamente sucesor a ℵ_{0}. Si buscamos que el tratamiento de estas cardinalidades transfinitas se adecue a lo que entendemos por números, no solo debemos demostrar cuando unas son mayores que otras, sino un orden en el que unas se sucedan inmediatamente a las otras, tal y como el número 7 no solo es mayor que 6, sino que le sigue.

Cantor (y nosotros en esta serie de artículos) consideró que la cardinalidad del continuo es efectivamente ℵ_{1}, el número transfinito que sucede a ℵ_{0}. Pero el Teorema de Cantor no nos permite asegurar que se sucedan de forma contigua. Nuestro autor jamás llegó a ser capaz de demostrar que no existían otras cantidades transfinitas entre la cardinalidad de los naturales y la del continuo. Pasarían muchos años antes de que alguien encontrase una solución a este problema.

Lecturas Recomendadas

 – Dedekind, R. (1888) ¿Qué son y para qué sirven los números?

 – Torretti, R. (1998) El paraíso de Cantor: La tradición conjuntista en la filosofía matemática.

– Ferreiros, J. (1999) Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics.

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