El logicismo y la lógica moderna

David Baños Abril

El siglo XIX es el siglo de la Lógica moderna. A medida que esta desplegaba sus capacidades expresivas muchos comenzaron a intuir las similitudes que compartía con la matemática. ¿Y si ambas cosas son la misma y es posible expresar todo teorema matemático como un juicio lógico? Tal tesis sería conocida con el nombre de logicismo y sería el matemático alemán Gottlob Frege el primero en plantearla de forma consistente.

El debate de los fundamentos

Hasta ahora en esta serie habíamos recorrido la Teoría de Conjuntos cantoriana y mencionamos de pasada el debate acerca de los fundamentos de la Matemática que tuvo lugar a finales del siglo XIX y principios del XX. En lo que resta de serie, este debate será el fondo sobre el que se desplieguen el resto de temas que abarquemos, incluido el origen del logicismo que trataremos en este mismo texto. Nos encontraremos con diferentes aproximaciones propuestas ante una serie de preguntas: ¿De dónde proceden las matemáticas? ¿Cómo podemos cimentar la verdad prístina y exacta de la que hacen gala los teoremas matemáticos?

Este tipo de cuestiones acerca de la naturaleza de la verdad matemática han ocupado la mente de los filósofos desde hace miles de años. Es por ello necesario explicar el porqué surge este debate delimitado en esta pequeña y precisa franja temporal de la historia moderna y el papel que jugó el logicismo en él.

Kant

Consideramos que un buen punto de partida para comprender el debate entorno a la naturaleza de la Matemática, no solo desde el logicismo sino desde el resto de corrientes que surgieron entorno a dicho debate, es Kant. Las diferentes corrientes que surgieron al calor de este debate aluden, de una forma u otra, a nociones kantianas.

Para el prusiano nuestra facultad sensible nos provee de «intuiciones» (Anschauungen) o representaciones inmediatas, el nexo de unión entre nuestro intelecto y los objetos. Tales intuiciones son unidades indivisibles y no forman por ellas mismas nuestro pensamiento. Los pensamientos como tales surgen de los «conceptos» (Begriffe), que nos permiten mediar con las intuiciones vía alguna propiedad común que estas compartan. Las intuiciones por tanto aportan el contenido material de nuestros pensamientos, mientras que los conceptos nos permiten manipularlas intelectivamente.

La postura novedosa que ofrece Kant y que rompe con la dualidad empirismo-racionalismo de autores anteriores es la defensa de la experiencia sensible como una actividad activa, que organiza de forma inmediata nuestra aprehensión del mundo. Todas las intuiciones de los objetos del mundo se ordenan bajo un esquema el cual impone sobre ellas nuestras intuiciones puras y primordiales del tiempo y el espacio. Tales intuiciones no surgen de los objetos del mundo sino que constituyen el marco en el que se estructuran el resto de objetos. 

Juicios analíticos

Los conceptos requieren de intuiciones sustentadas en la experiencia sensible para dar forma a los pensamientos. Sin embargo, Kant afirma que es posible emitir juicios acerca de los conceptos per sé. Tales juicios son los que Kant denominaba analíticos o también tautológicos: afirmaciones evidentes contenidas en el propio concepto. Kant nos pone como ejemplo la proposición «los cuerpos tienen volumen». La propiedad «tener volumen» es precisamente lo que define a los cuerpos, y por tanto, tal juicio no amplía el concepto original.

Juicios analíticos y matemática

Kant consideraba que tan solo el conocimiento fundamentado en nuestras intuiciones sensibles, es decir sintético, podría ampliar nuestro conocimiento., y esto incluye la Matemática. En efecto, las proposiciones matemáticas, a pesar de ser juicios a priori cuya veracidad no depende de la sensibilidad, surgen a raíz de las intuiciones de espacio (geometría) y tiempo (aritmética) con los que nuestro intelecto organiza toda impresión sensible. Es por ello que los teoremas matemáticos son aplicables al mundo físico.

Por el contrario, los juicios analíticos, aquellas verdades de necesidad, no amplían nuestro conocimiento al no permitir afirmaciones que vayan más allá de lo que ya se conoce. Para Kant, toda afirmación analítica, debido a su carencia de material intuitivo, es inmediatamente evidente y trivial. Así es que Kant excluye toda proposición matemática de los juicios analíticos: el predicado «tener ángulos que sumen 180º» no está contenido en el concepto de «triángulo».

 -El concepto «doce» de ninguna manera es evocado en el mero pensamiento de la unión de «siete» y «cinco»; podría analizar un concepto como tal cuanto tiempo quisiese, pero seguiría sin encontrar el «doce» en él.- 

Immanuel Kant. Crítica de la razón pura. 1787.

Logicismo y juicios analíticos

Como veremos en este artículo, el logicismo busca expresamente contradecir a Kant, defendiendo que toda proposición matemática es una verdad necesaria o analítica. Otras aproximaciones al debate de los fundamentos como son el constructivismo o el intuicionismo (que exploraremos más adelante en esta serie) son, por el contrario, herederas de las posiciones kantianas acerca de la naturaleza sintética de la matemática.

La nueva lógica

Cuando Kant considera los juicios analíticos tiene en mente la lógica silogística de Aristóteles: las deducciones que necesariamente concluyen de unas premisas dadas y de ninguna consideración circunstancial. Todo juicio puede reducirse a una de las cuatro proposiciones categóricas que establecen las posibilidades de inclusión de conceptos.

Así por ejemplo, la proposición «todos los griegos son hombres» sigue el esquema de la forma A, mientras que «ningún hombre puede volar» ejemplifica la forma E. De ambas premisas obtenemos la deducción lógica «ningún griego puede volar» o lo que es lo mismo, la propiedad «poder volar» no está contenida en el concepto de «griego».

¿Es evidente esa contención de un concepto en otro tal y como Kant aseguraba de los juicios analíticos? Si es así, Kant de alguna manera abre la puerta a un conjunto infinito de verdades alcanzadas solo a través de mecanismos deductivos.

Usos lógicos en la matemática

Para Kant la lógica, como conocimiento analítico no ampliativo, es una rama estéril del conocimiento. Sin embargo, durante todo el siglo XIX, esta exhibirá sus múltiples posibilidades de desarrollo. Boole y Schröder concibieron un álgebra para la lógica: los conectores lógicos, como la conjunción , la disyunción o la implicación , operaban sobre valores de verdad (V y F, o también 1 y 0) permitiendo obtener deducciones por medio de un cálculo mecánico. La lógica se acercaba en su método a la rigurosidad propia de la matemática.

Al mismo tiempo, la matemática recurría a los programas expresivos de la lógica. Veamos un ejemplo en la definición de límite ofrecida por Weierstrass en la década de 1850, definición que supuso uno de los hitos del Análisis moderno y que es usada hoy en día. El límite de una función f(x) cuando x tiende a p es L

…si para todo ε>0 existe un σ>0 tal que, para todo x, si \left | x-p \right | < σ entonces \left | f(x)-L \right | < ε.

El logicismo

Los términos en cursiva como «si… entonces» o «existe un» son expresiones propias de la lógica formal, a diferencia de aquellas que son específicas de la aritmética como «menor que» o «mayor que». Este tipo de recursos son generales a cualquier rama de la matemática e incluso a toda ciencia que pretenda ser rigurosa. ¿Acaso la lógica no acoge bajo su seno las reglas del pensamiento que son comunes a todos los saberes incluida la matemática? Esto es precisamente el planteamiento fundamental del logicismo: la matemática es una rama subordinada a la lógica y es posible deducir toda proposición matemática a partir de las leyes que rigen el pensamiento.

El logicismo de Gottlob Frege

Gottlob Frege era un matemático ya maduro cuando, desde su puesto de profesor en la afamada Universidad de Gotinga, se embarcó en su proyecto de asentar los cimientos filosóficos de la matemática. Este proyecto, aunque si bien pasó décadas prácticamente desapercibido, terminó siendo el primer programa consistente con el logicismo. En 1879 Frege daría forma a los principios que rigen la Lógica tal y como son entendidos hoy en día en su obra Begriffsschrift (traducible como Conceptología). Hoy conocemos esta rama de la lógica como Lógica de Predicados y Frege la usaría como fundamento de las nociones matemáticas.

Aritmética y sensibilidad

Frege distingue entre una idea o evocación psicológica subjetiva, y el concepto objetivo cuya veracidad no depende de las condiciones físico-mentales de su manifestación. La distinción sería equivalente a la que existe entre «recuerdo» y «suceso». Una proposición aritmética, como es 2+2=4, se encuentra rodeada de un aura de certidumbre y convicción, contra la que ni siquiera es posible concebir su negación. La aplicabilidad de la Aritmética sobre el mundo físico no debería desviar nuestra atención de su carácter universal más allá de toda circunstancia. Curiosamente Frege está de acuerdo con Kant en que la geometría sí que es una disciplina sintética cimentada en nuestra intuición del espacio.

 -Las bases de la Aritmética son más profundas que las de cualquier ciencia empírica, incluso más que la geometría. Las verdades de la aritmética gobiernan sobre todo aquello que es numerable. Este es el dominio más amplio de todos, al que pertenece no solo lo real, ni lo intuible, sino todo aquello siquiera pensable. ¿No deberían las leyes de número estar entonces íntimamente conectadas con las leyes del pensamiento? – 

Gottlob Frege. Fundamentos de la Aritmética- 1884.

Al negar la dependencia de la certeza matemática de las intuiciones sensibles, Frege se posiciona abiertamente contra Kant. Para este último, los juicios, verdaderos o falsos, son el resultado de la síntesis entre los conceptos y el material sensible en forma de intuiciones. Frege argumenta exactamente en la dirección contraria: nuestra capacidad de análisis nos permite abstraer los conceptos que existen tras los juicios que emitimos. Estos conceptos per sé son el objeto de estudio de la lógica.

El lenguaje lógico

La pretensión de Frege de derivar los principios elementales de la Aritmética a partir de la lógica resultaba en una tarea imposible dadas las limitaciones expresivas de la Lógica Proposicional y el Silogismo. Era necesaria una nueva lógica, una suerte de lenguaje que imitase las estructuras del lenguaje ordinario pero más preciso y abstracto. En términos de Frege en Begriffsschrift, un lenguaje formal que expresase «las relaciones que sean independientes de las propiedades específicas de las cosas». Su objetivo sería codificar en un conjunto de reglas mecánicas todos los recursos argumentativos propios del lenguaje, incluido el matemático, como es el ejemplo previo sobre la definición de límite. El resultado permitiría elaborar grandes cadenas de inferencias, deducción tras deducción, de una forma estrictamente rigurosa.

Función y argumento

El silogismo es la lógica de la inclusión y exclusión de conceptos y la Lógica Proposicional atañe al cálculo de los valores veritativos por medio de operadores lógicos (conjunción, disyunción, etc…). Frege pretende combinar ambas en un mismo sistema. 

La innovación que introduce en los Begriffsschrift consiste en abandonar el tradicional esquema de sujeto-predicado («los griegos»-«son hombres», «los griegos»-«pueden volar») propio de los juicios silogísticos por uno de objeto-propiedad, cuya más relevante característica es la introducción de variables. Esta distinción está motivada por los objetivos de la obra: Frege considera que dos juicios son distintos solo si las consecuencias que se derivan de ellos son diferentes. Así no conviene diferenciar dos expresiones como «los griegos derrotaron a los persas en Platea » y «los persas fueron derrotados por los griegos en Platea». El sujeto en ambas no coincide, pero su contenido significativo es el mismo y por tanto, las consecuencias derivadas son las mismas.

Variables y cuantificación

La innovación introducida por Frege permite expresiones insaturadas tales como «x puede volar» que no tienen un significado preciso puesto que contienen una variable de valor indeterminado. El uso de estas variables permite a la lógica de Frege capacidades expresivas mucho más amplias que las de la Lógica de Proposiciones. Dos son los principales atributos de estas nueva lógica:

  • En primer lugar, la lógica de Frege es una lógica poliádica. Un predicado puede tener múltiples variables. Por ejemplo «a es el asesino de b«. Tal característica sería imposible para un predicado gramatical, que puede ser vinculado a un único sujeto.
  • En segundo lugar, se trata de una lógica cuantificada. No es lo mismo afirmar que «el número veinte puede ser representado como la suma de dos cuadrados» que «todo número entero puede ser representado como la suma de dos cuadrados». Ambas expresiones comparten un mismo predicado. Pero la segunda, a diferencia de la primera, refiere a una totalidad. Así cuantifica sobre el dominio de posibles valores de la variable (en este ejemplo, el dominio de los números enteros). En simbología moderna los cuantificadores son ∀x («para todo x«) y («existe un x«).

Conclusión

Veamos el ejemplo de la definición de límite Weierstrass haciendo uso del lenguaje lógico de Frege (recurriendo a la simbología moderna y no la del propio Frege que es compleja y nunca se extendió más allá de sus propios textos):

∀ε∃σ[(ε>0) ∧ (σ>0) ∧ ∀x[(\left | x-p \right | < σ)→(\left | f(x)-L \right | < ε)]]

En el siguiente artículo veremos cómo Frege desplegó todas las capacidades expresivas de este lenguaje lógico (conocido actualmente como Lógica Cuantificada o de Primer Orden) para ofrecer una definición lógica de número a partir de la cual poder deducir el resto de teoremas aritméticos. Con esta nueva aritmética Frege asienta los principios del logicismo que serán continuados por otros autores como Russell o Ramsey.

Lecturas Recomendadas

– Kant, I. (1787) Crítica de la razón pura.

– Frege, G. (1879) Conceptografía.

– Frege; G. (1884) Fundamentos de la Aritmética.

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