El número e
David Baños Abril
«Cuando más dinero se tiene, más dinero se gana». Esta expresión que seguro que habéis oído alguna vez describe un valor que aumenta acorde a una cantidad ya cantidad acumulada. Este tipo de crecimientos se conocen en matemáticas como «exponenciales» y el número e es la piedra angular detrás de todos ellos.
Progresiones
Para comprender bien la naturaleza del número e es necesario tener clara la distinción entre las diferentes formas de progresión, es decir, la forma en que se desarrolla una sucesión de números.
Progresiones aritméticas
Podemos imaginar una sucesión tal que \{12, 24, 36, 48…\}, que representase el número de publicaciones al año de una revista mensual. Como puede verse, el incremento es idéntico de un año a otro; 12 nuevas publicaciones que se suman a las ya previas. Conocer el número de revistas publicadas totales es tan fácil como sumar 12 + 12 + 12 + 12… a medida que avanzamos por el eje x. Todas las funciones de la forma f(x) = rx describen progresiones aritméticas como la del ejemplo previo.
Nos basta conocer la constante r para saber en todo momento el ritmo al que crece la sucesión. Podemos no conocer el número total de revistas publicadas, pero sabemos que el año que viene se sumarán doce a ese número.
Progresiones geométricas
Existen también las progresiones geométricas, de la forma f(x) = r^{x}. Cada nuevo elemento de la sucesión se calcula no ya sumando, sino multiplicando al número previo por el parámetro r.
Existen muchos procesos que siguen una progresión geométrica como es por ejemplo el crecimiento demográfico. Si a cada nueva generación, la población es (pongamos de forma bastante exagerada) el doble de la generación anterior, la fórmula que expresa este crecimiento sería 2^{x} o lo que es lo mismo, 2 × 2 × 2 × 2… tantas veces como generaciones pasen.
Ritmos de cambio
Si echáis un vistazo a las gráficas de abajo veréis que os aparece por un lado la función que describe la progresión propiamente dicha en azul y en naranja otra función. Esta última indica su ritmo de cambio, es decir, cuanto debe crecer la función para alcanzar el valor en el valor x sucesivo. Como ya hemos indicado arriba, en la progresión aritmética la altura del «peldaño» es siempre el mismo, determinado por el valor r. El ritmo de cambio es constante a lo largo del eje x descrito por la expresión f(x+1) = f(x) + r.
Abajo observaréis dos gráficas. Una describe el progreso aritmético y la otra el geométrico. En azul aparece la función y en naranja su ritmo de cambio. Podéis modificar también el parámetro r.
Ritmo de cambio geométrico
En las progresiones geométricas r también describe el crecimiento, pero de una forma más indirecta, porque lo hace indicando la proporción entre el valor de la función en x y en el siguiente x+1. La consecuencia de esto es que ahora el crecimiento ya no es constante. La altura de cada peldaño es distinta en cada valor de x determinada por:
salto_{f(x)} = r^{x+1} – r^{x}
Es precisamente porque el ritmo de cambio también aumenta progresivamente que observamos como la progresión geométrica crece mucho más «rápidamente» que la progresión aritmética.
Funciones exponenciales
¿Qué ocurre si reducimos el salto con el que avanzamos por el eje x, no ya de uno en uno, sino de 0.5 en 0.5, o de 0.01 en 0.01? Llamemos dx a este salto y hagamos que sea todo lo más pequeño que sea posible. Hablamos entonces de un función continua. Las funciones continuas que muestran un crecimiento geométrico se conocen como funciones exponenciales.
La siguiente gráfica muestra la función exponencial de base 2. Observa como cambia la relación entra la función y su ritmo de cambio a medida que reducimos el salto dx.
A medida que reducimos dx esperaríamos que el tamaño del peldaño necesario para alcanzar el próximo valor f(x + dx) sea igualmente más y más pequeño. Es lo que pensaríamos intuitivamente, pues sabemos que no es lo mismo el crecimiento de una población de año en año que de semana en semana o de día en día. Pero no es eso exactamente lo que ocurre. Se reduce, sí, pero solo hasta un punto en que llega a estabilizarse.
Derivada de la exponencial
En las funciones continuas, este ritmo de cambio que hemos representado como una función anexa en color naranja, se conoce como derivada de la función, denotada como f'(x). Esta describe cuanto crece f(x) por cada incremento en dx cuando este tiende a 0. Su descripción matemática en el caso de las funciones exponenciales es:
f'(x) = \frac{r^{x+dx} – r^{x}}{dx}
Por la propiedad de los exponentes r^{x+dx} = r^{x} r^{dx} y sacando a el factor común r^{x} obtenemos:
f'(x) = r^{x}\frac{r^{dx} – 1}{dx}
Proporcionalidad de la derivada
El término en color naranja contiene el parámetro r y dx, que ya hemos dicho que tiende a 0. Es por ello que dicho término es una constante, específica de cada función exponencial f(x) = r^{x}. Como podemos deducir de la fórmula, la derivada en cualquier punto es igual a dicha función multiplicado por la constante. Ahora podemos ver más claro algo que ya habíamos adelantado antes, que el ritmo de cambio de una función exponencial es proporcional a la función misma, determinado por una constante que es específica para cada base r.
f(x) = r^{x}
f'(x) = r^{x} × const(r)
He aquí algunos ejemplos de cada función con su correspondiente constante de la derivada:
f'(2^{x}) = 2^{x} × 0.6931
f'(3^{x}) = 3^{x} × 1.0986
f'(4^{x}) = 4^{x} × 1.3863
Si la constante es mayor de 1, la derivada es siempre mayor que la función, lo contrario si es menor que 1.
El número e
Observar la gráfica inferior. En ella es posible controlar el parámetro r, mostrando diferentes funciones exponenciales y su respectiva derivada en naranja. Entre todos los casos existe uno muy especial, uno en el que función y derivada coinciden.
Como puede observarse, la base r en la que función y derivada son idénticas es un número entorno a 2.71. El número en cuestión es exactamente 2.718281828… Se trata, como no, del número e cuya extensión decimal es infinita. El número e es el fundamento de las funciones exponenciales, al ser la base de la única función que coincide con su derivada.
f(x) = e^{x}
f'(x) = e^{x}
Si te preguntas por qué ocurre esto exactamente en esa cifra, me temo que tu pregunta no tiene respuesta. Cuestionarse eso es como preguntarse por qué π es 3.1415… y no 15 por ejemplo. Es simplemente la definición del número e
Aprende a programar redes neuronales desde cero.
