El origen de la lógica matemática

David Baños Abril

La estudio del pensamiento correcto o lógico se remonta a la Antigüedad. Pero a principios del siglo XIX, de la mano del matemático británico George Boole, la lógica se desprende de la filosofía y la ciencia de la mente, y empieza a adoptar métodos tomados de la matemática. El Álgebra de Boole permitió el desarrollo de una lógica matemática o simbólica.

Leibniz y el simbolismo

En el siglo XVII, la lógica era el arte del buen pensar. Los filósofos se ocupaban de establecer los medios por los que descubrir nuevas verdades, siguiendo métodos de razonamiento que habían sido establecidos en la Antigua Grecia y desarrollados en la Europa medieval.

Desde bien joven, Leibniz se interesó por desarrollar un procedimiento que permitiese justificar todo razonamiento en base a un orden y unas reglas explícitas de vez de dejarlo a la inventiva del filósofo. Para Leibniz, si consiguiésemos que las ideas simples se convirtiesen en unidades bien definidas y distinguibles, combinadas por medio de reglas, podríamos conseguir que pensar y argumentar se convirtiese en una suerte de cálculo ciego y mecánico, a la manera en que hacemos divisiones en el colegio siguiendo reglas.

Characteristica universalis

Aunque el método que Leibniz propuso bebía de la matemática, el planteamiento del problema aún conservaba los retazos de la metafísica de generaciones anteriores. Así, las ideas simples que justificaban las unidades con las que operar, se fundaban en la concepción de un universo armónico de elementos simples que, combinados, daban lugar a proposiciones complejas. Leibniz consideraba estas ideas como entidades independientes, que podían llegar a ser doblegadas por la mente humana haciendo uso de definiciones precisas. El que estas ideas tuvieran una entidad propia permitía asociarlas con un signo escrito. Por ejemplo, podía asociarse la idea de «hombre» con el signo ð, y la idea de «mortal» con . Así, para expresar que «el hombre es mortal» pondríamos ðℵ.

Esta correspondencia entre toda idea simple con un símbolo se conoce como characteristica universalis, y supuso un hito en el desarrollo de la lógica, pues el uso de símbolos permitió superar las disparidades semánticas y gramáticas que existentes entre diferentes lenguas que solían pervertir el debate filosófico.

Calculus rationator

La pretensión de Leibniz era construir todo un lenguaje a partir de estos símbolos, que podían combinarse de manera que formasen palabras. En virtud del vínculo signo-idea, los símbolos combinados expresaban ideas complejas. Como herramienta destinada a un uso filosófico que era, este calculus rationator o combinatoria de símbolos, permitiría razonar sobre Metafísica y Moral al modo en que se hacía en la Geometría y Aritmética.

El Formalismo en la Lógica Matemática

Si bien Leibniz fue realmente innovador, la justificación de su obra ha ido perdiendo valor a medida que la lógica matemática se desarrollaba. La simbolización y la manipulación de símbolos era para Leibniz un medio de reproducir mediante símbolos la estructura de todo el conocimiento humano. Los símbolos se justificaban sobre ideas simples que contaban con su propia identidad real e independiente.

Esta asunción acabaría siendo cuestionada en el devenir de la lógica matemática. Muchos lógicos posteriores dejaría de preguntarse por la vinculación de los símbolos con esas ideas para quedarse solo con la vertiente manipulativa (sintáctica), es decir, con los símbolos mismos. Los signos con los que opera la lógica matemática moderna no tendrían porqué representar nada. Se les ha vaciado de todo contenido semántico, de todo significado. El formalismo matemático implica que la utilidad de los símbolos no reside en representar objetos del mundo real o imaginario, sino de las formas en que pueden combinarse con otros signos. Esta formalización fue penetrando poco a poco en la lógica en un proceso que duro 300 años desde la época de Leibniz.

El Psicologismo

La propuesta de Leibniz tardaría un siglo en dar sus frutos. El proceso de formalización de la lógica se encontró con importantes detractores, especialmente en la Alemania natal de Leibniz. En la primera mitad del siglo XIX comenzó a desarrollarse la psicología moderna a medida que se distanciaba de la filosofía y adoptaba una metodología experimental propia de las ciencias naturales. Muchas de estas figuras consideraban que lógica y juicios mentales eran la misma cosa. La lógica dependería de la actividad intelectiva humana. Las leyes de la lógica responden a nuestro raciocinio, que no es sino una facultad que emerge de las intuiciones sensibles y del acto de reflexión sobre ellas.

-La lógica es una disciplina psicológica, tan cierto como que el conocimiento sólo se da en la psique, y el pensamiento, que llega en él a su plenitud, es un proceso psíquico.- 

Theodor Lipps. Gründzunge der Logik. 1839

La corriente psicologista se justificaba en el intento de desvincular la lógica de toda metafísica y asentarla junto al resto de ciencias empíricas. Sin embargo, convertía a a lógica en una disciplina dependiente de la psicología humana y por tanto, el uso de símbolos respondía a un intento de representación precisa de los juicios, pero no tenía interés por sí mismo.

El nacimiento de la Lógica Matemática

A principios del siglo XIX, la disciplina lógica en Gran Bretaña entraría en una nueva etapa que la colocaría definitivamente al abrigo de la matemática. Aunque su formalización fue un proceso lento que no estuvo exento de detractores, el camino ya estaba plantado para dar el gran salto hacia la lógica simbólica. Richard Whately defendió la autonomía de la lógica y el uso de un lenguaje simbólico propio. Propuso que los signos lógicos no tenían porqué representar ideas abstractas ni juicios mentales, abogando por una separación con la psicología. Poco después, Augustus De Morgan estableció la cuantificación del predicado, esto es, la equivalencia existente entre decir que una cosa x cumple una propiedad y y decir que x pertenece al grupo de objetos que cumplen la propiedad y. La segunda perspectiva permite un tratamiento cuantitativos de los atributos de los objetos.

-Toda ciencia exacta es tal sólo en cuanto sabe cómo expresar una cosa mediante un signo.- 

Augustus De Morgan. On the syllogism.

El paso definitivo para la aparición de una lógica matemática de pleno derecho vino de la mano del desarrollo del álgebra abstracta. Los matemáticos se vieron libres de crear sus propios símbolos y sus propios reglas operativas con ellos como si de juegos se tratasen. El álgebra abstracta establecía operaciones con caracteres que no tenían porqué estar vinculados a cantidades numéricas ni medidas geométricas, pero que sin embargo siguen reglas estrictas y respetan una serie de principios invariables. Una de estas álgebras abstractas es precisamente el Álgebra de Boole.

El Álgebra de Boole

EL Álgebra Booleana es bien conocida dentro del ámbito de la programación. Repasaremos muy brevemente cuáles fueron las innovaciones que introdujo George Boole y que le sitúan como uno de los matemáticos más importantes de su tiempo y como el padre de la lógica moderna.

George Boole y Álgebra Booleana

Boole publicaría en 1847 la obra que abriría el camino a la lógica matemática: The mathematical analysis of logic. Boole establece las bases de una nueva lógica fundamentada en las operaciones con símbolos.

-La validez de los procesos del análisis no depende de la interpretación de los símbolos que se emplean, sino solamente de las leyes de combinación.- 

George Boole.  The mathematical analysis of logic. 1847

Los símbolos y sus reglas de combinación pasan a un primer plano. Esos símbolos podrán interpretarse arbitrariamente mientras se respeten dichas reglas.

El álgebra Booleana

El tratamiento de Boole busca que el sistema algebraico represente operaciones con el concepto de clase. Estas operaciones permitían mecanizar la lógica y facilitaban la resolución de proposiciones compuestas, que, haciendo uso del lenguaje común, hubieran sido mucho más complejas de tratar.

Boole propone dos símbolos: el 1 y el 0. No debemos entenderlos como números ordinales corrientes. No representan cantidades, simplemente son dos valores distinguibles entre ellos. Podría usarse perfectamente ♦ y ♥. Las variables usadas en el álgebra de Boole (escritas como x, z, e, etc…) pueden tomar uno de estos valores, 1 o 0. Por ejemplo, z puede ser igual a 1 y x a 0.

Estas son las unidades básicas del álgebra de Boole. Ahora definiremos cómo podemos operar con ellas. Estableceremos dos operaciones: la de suma (+), la multiplicación (.) y la resta (-a). Así, si tenemos dos variables (a, b), sabiendo que cada una de ellas puede adoptar o bien el valor 1 o el valor 0 tenemos cuatro posibilidades para la suma y cuatro para la multiplicación:

Tabla con la operación de resta en Álgebra Booleana.

Propiedades del Álgebra de Boole

Al igual que con la aritmética cotidiana, la suma y la multiplicación cumplen las propiedades conmutativa (a+b = b+a y a . b = b . a) y distributiva (a . (b+c) = (a . b) + (a . c)). Sin embargo, no cumplen otras propiedades propias de la aritmética de los números enteros. Una de ellas, la Ley del Índice, es la más distintiva de este álgebra:

a.a = a.

Sabemos que 3x3 no es igual a 3. Los números naturales no cumplen esta propiedad a excepción de dos de ellos, el 1 y el 0. Es por ello por lo que estos valores son usados en el Álgebra Booleana. Boole buscaba con el uso de las grafías 1 y 0, acercar su estructura algebraica a las operaciones aritméticas tradicionales con números enteros.

Operaciones con clases

Puede que no veamos sentido al porqué de esta nueva álgebra, pero recordemos que Boole buscaba representar con ella operaciones con clases de objetos. Así, cuando decimos que una variable vale 1 estamos diciendo que representa una clase con al menos un elemento, mientras que si decimos que vale 0 estamos diciendo que es una clase vacía.

Sumar dos clases a y b (sin objetos comunes) da como resultado una nueva clase que agrupa los elementos tanto de una clase como de otra. A esto se le llama unión. Como podemos ver si volvemos al cuadro con las operaciones, sumar una clase vacía (0) a una clase no vacía (1) da como resultado una clase no vacía (1).

La multiplicación en cambio representa la intersección, el conjunto de los elementos que forman parte tanto de a  y de b. Multiplicar una clase vacía (0) por una clase no vacía (1) devuelve una clase vacía (0).

Proposiciones categóricas y álgebra de Boole

Se conocen como proposiciones categóricas a un conjunto de declaraciones sobre la naturaleza de la relación entre dos clases de objetos. Estas proposiciones son conocidas desde la Antigüedad y ocupan un lugar fundamental en toda la lógica. Son cuatro en total y cada una se declara por una letra. Las veremos acompañadas cada una por su correspondiente diagrama de Venn:

A: Todos los a son b

Diagrama de Venn de la proposición categórica: Forma A

E: Ningún a es b

Diagrama de Venn de la proposición categórica: Forma E

I: Algún a es b

Diagrama de Venn de la proposición categórica: Forma I

O: Algún a no es b

Diagrama de Venn de la proposición categórica: Forma O

Estas proposiciones categóricas podemos traducirlas al Álgebra de Boole, lo cual resultará en:

A: a.(-b)=0 

«La intersección entre a y lo que está fuera de la clase b es vacía»

E: a.b = 0 

«La intersección entre la clase a y la clase b es vacía»

I: a.b = 1 

«La intersección entre la clase a y la clase b no es vacía»

O: a.(-b)=1 

«La intersección entre la clase a y lo que está fuera de la clase b no es vacía»

Utilidad del Álgebra Booleana

La utilidad del Álgebra Booleana reside en representar todo tipo de operaciones en las que existan solo dos posibles valores. Es por ello que ha resultado tan fértil en el campo de la lógica, en la que ciertas proposiciones, como por ejemplo «todo hombre es mortal», o bien es verdadera o bien falsa. Podemos a dicha afirmación «sumar» otra proposición, como por ejemplo «todo hombre es un ser viviente». Suponiendo que ambas afirmaciones valen 1 si son ciertas, su «suma» será también 1.

El campo de la computación no ha sido ajeno al álgebra de Boole. Esta permite modelar dispositivos que combinan unidades lógicas de dos posibles estados (encendido/apagado). A estas unidades se las conoce como puertas lógicas y son los elementos indispensables sobre el que pivota la computación moderna.

Lecturas recomendadas

– Lombraña, J. V. (1989) Historia de la lógica.

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