El Programa de Hilbert

David Baños Abril

Desde la prestigiosa Universidad de Gotinga (en la imagen), David Hilbert elaboró su propio sistema de fundamentación para la Aritmética y, en última instancia, para toda la Matemática. Es el conocido como Programa de Hilbert, al que dedicamos el presente artículo.

David Hilbert

David Hilbert era un respetadísimo matemático a finales del siglo XIX. Desde la Universidad de Gotinga, que tantos eruditos había acogido y seguía acogiendo, Hilbert se convirtió en una de las figuras más destacadas de la matemática alemana, y en consecuencia, del mundo.

Un científico de su categoría no podía ignorar la corriente fundamentalista que recorría la Matemática en las décadas de 1880 y 1890, y como no podía ser de otra manera, se unió a ella. 

En 1899 Hilbert publicó la primera de sus grandes obras: Grundlagen der Geometrie o Fundamentos de Geometría. Hilbert retoma el viejo proyecto de Euclides de fundamentar los principios de la Geometría.

Los planteamientos de Hilbert no eran realmente novedosos. La igual que Euclides hace más de 2000 años, el alemán hace uso del método axiomático, la presentación de un conjunto finito de axiomas o principios fundamentales que sustentan toda una teoría matemática. Tales axiomas son las bases desde las que se deducen uno a uno los teoremas característicos de la Geometría, pero siendo los propios axiomas independientes entre sí y sin poder ser deducidos a partir de otros axiomas.

Con los años Hilbert perfeccionaría este método, considerándolo como la más elegante y consistente forma de presentar  una rama de la Matemática. Si bien su interés por los fundamentos de la Aritmética surge en los últimos años del siglo XIX, es en la década de 1920 donde sus proyecto cobre forma con el debido rigor y profundidad.

El Programa de Hilbert

Una vez que Hilbert había conseguido mostrar una fundamentación formal y precisa de la Geometría, se abría ante él la necesidad de exportar su método axiomático a otras ramas de la Matemática. Dado que la demostración de la consistencia de su sistema geométrico descansaba sobre supuestos aritméticos, el paso adelante obligado era una fundamentación, igualmente formal y precisa, de la Aritmética. Pero he aquí que estos supuestos aritméticos ya no podían servir de cimiento bajo pena de incurrir en un razonamiento circular. Otro camino debía de ser tomado y durante los primeros años del siglo Hilbert dedicó sus esfuerzos intelectuales en ofrecer una solución. Al igual que Frege en su día, se enfrentaba a la tarea de ofrecer una fundamentación rigurosa de la Aritmética y de toda la Matemática. Este será el objetivo del Programa de Hilbert.

El formalismo de Hilbert

A diferencia de la perspectiva de Frege y Russell, Hilbert considera que una exposición rigurosa de los números requería de nociones primitivas dadas al pensamiento de forma intuitiva, tales como la noción de unidad o de orden. Los principios lógicos por sí mismos no pueden servir de base si no se aplican sobre estas nociones primitivas. Hilbert se distancia por completo del proyecto logicista

– Nos aferramos a la convicción, en contra de los esfuerzos previos de Dedekind y Frege, de que si el conocimiento científico ha de ser posible, ciertas concepciones intuitivas y evidentes son indispensables; la lógica no es suficiente.

– David Hilbert. Über das Unendliche. 1908.

Aún reconociendo que las bases de la Matemática descansan en nuestra comprensión intuitiva más elemental, Hilbert insiste en que no podemos quedarnos aquí y que es necesario un método suficientemente refinado para el estudio de la Matemática. Es imprescindible formalizar estas intuiciones, de manera que el ejercicio de la Matemática alcance los estándares más altos de precisión y rigurosidad. Los axiomas que sustentan una teoría deben formular de forma explícita las formas en que estas nociones primitivas pueden y no pueden relacionarse entre sí. Esta insistencia en la rigurosidad será el sello característico de la producción científica de Hilbert, hasta el punto que sus críticos llegarían a reprocharle, de forma quizás exagerada, el haber reducido el razonamiento matemático a un simple juego ciego de manipulación de símbolos.

El método axiomático

Toda teoría científica, incluso fuera del campo matemático, no es más que una estructura conceptual formada por un conjunto de proposiciones relacionadas entre sí de acuerdo a principios lógicos. Hilbert señala que de entre estas proposiciones, existen algunas a partir de las cuales puede reconstruirse el sistema al completo. Estos son los axiomas de dicha teoría: proposiciones que no pueden ser demostradas, pero a partir de las cuales se demuestra el resto de proposiciones de la teoría.

– El procedimiento del método axiomático, tal como se expresa aquí, equivale a una profundización de los cimientos de los dominios del conocimiento, una profundización que es necesaria para cualquier edificio que uno desee expandir y erigir más alto mientras preserva su estabilidad.

– David Hilbert. Axiomatisches Denken. 1918.

Estos axiomas deben de someterse a un exhaustivo estudio que revele si satisfacen o no dos exigencias: que sean independientes entre sí, es decir, que no puedan ser deducidos uno de otro, y que sean consistentes, esto es, no conlleven contradicciones.

Respecto a este último requerimiento Hilbert pone como ejemplo el sistema axiomático elaborado por Zermelo para la Teoría de Conjuntos. Aquejada de paradojas como la de Burali-Forti (el ordinal del conjunto de todos los ordinales), los axiomas de Zermelo resolvieron el problema evitando la contradicción. Sin embargo una cosa es esquivar paradojas y otra es demostrar que efectivamente ninguna paradoja puede ser alcanzadas dados unos axiomas. Es esta última exigencia, que Hilbert ya había alcanzado para la Geometría, la que desea ofrecer para la Aritmética, la otra de las ramas de la Matemática, junto a la Teoría de Conjuntos, que no puede ser reducida a supuestos más elementales.

La consistencia de la Aritmética

El Programa de Hilbert encaró la cuestión desde una perspectiva hasta cierto punto novedosa. El problema de los fundamentos debía plantearse como un problema de consistencia, esto es, dados una serie de axiomas de la Aritmética, demostrar que no es posible deducir a partir de estos dos teoremas que sean contradictorios entre sí. Para Hilbert, es matemático todo sistema que sea consistente. Si encontramos una prueba de la consistencia de una teoría, esto es, si demostramos que aplicando un número finito de inferencias lógicas a unos determinados axiomas no es posible alcanzar una contradicción, entonces tal teoría es una teoría matemática válida y existente. Si se da tal contradicción, el sistema no existe matemáticamente.

A diferencia de otros matemáticos contemporáneos, Hilbert se mostró siempre fiel a los descubrimientos de Cantor. Sus transfinitos debían de incluirse en cualquier institución de la Aritmética. Así que la consistencia de la Aritmética pasaba por resolver al mismo tiempo los misterios que rodean a los números reales y al continuo, el famoso dilema que Cantor jamás supo resolver en vida.

En resumen, el Programa de Hilbert se puede resumir en dos principios: por una lado la sistematización de la Aritmética en un conjunto finito y rigurosamente definido de axiomas, por otro la demostración de que a partir de estos axiomas es imposible demostrar un enunciado que sea contradictorio con el resto del sistema, esto es, que sea consistente.

Metamatemática

Esta exposición acerca de cómo refundar toda una rama matemática redirige el foco de atención desde el contenido en sí a esa estructura de proposiciones que llamabamos teoría. Cabe hacernos preguntas acerca de la estructura en cuestión ¿Es consistente -carente de contradicciones-? ¿Es completa -acoge todas las proposiciones verdaderas de un campo de estudio-? ¿Es decidible -contamos con un método para demostrar todo teorema verdadero en un número finito de pasos-?

Para una exposición más extendida de este tipo de metapropiedades recomendamos en siguiente artículo en la serie de Lógica Matemática.

Aunque este tipo de cuestiones ya ocupaban la mente de muchos eruditos con anterioridad, Hilbert es el primero en sistematizar estas cuestiones en un nuevo campo de estudio conocido como Metamatemática. El alemán reconoció que muchos de las discusiones más profundas de la Matemática pasan por resolver este tipo de cuestiones generales a cualquier teoría matemática.

La Teoría de la Prueba

La Metamatemática es el resultado necesario y evidente una vez que una rama del conocimiento haya sido formalizada en un marco conceptual en el que todas las proposiciones se deriven unas a otras de acuerdo a reglas de deducción explícitas. Dejamos atrás el descubrimiento de nuevos teoremas para fijar como nuevo objeto de estudio el mecanismo de deducción en sí mismo ¿Cómo podemos asegurarnos que los teoremas alcanzados sean compatibles con el resto de la teoría? ¿Podemos llegar a saber si existen teoremas matemáticos inalcanzables por nuestro método? 

Estas y otras cuestiones son las que Hilbert dispone como las grandes incógnitas que hay que resolver para solucionar los fundamentos de la Aritmética. Si conseguimos demostrar que nuestras reglas de deducción cumplen con estos estándares entonces sabremos que su aplicación sobre los axiomas de la Aritmética dan como resultado una teoría carente de contradicciones, tal y como ambiciona el Programa de Hilbert. La Teoría de la Prueba, el estudio de la demostración matemática, será el tema de nuestro próximo artículo.

Lecturas Recomendadas

– Hilbert, D. (1900b) From mathematical problems.

– Hilbert, D. (1908) On the infinite.

– Hilbert, D. (1918) The axiomatic thought.

 

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