La Paradoja de Russell

David Baños Abril

La Teoría de Conjuntos de Cantor y el proyecto logicista de Gottlob Frege aspiraban a convertirse en herramientas a partir de las cuales fundamentar toda la matemática de forma rigurosa. Sin embargo, este logro se verían amenazado por el surgimiento de una serie de paradojas y contradicciones, entre las que destaca la famosa Paradoja de Russell.

Bertrand Russell

Bertrand Russell era un académico británico asentado en el Trinity College de Cambridge afamado por su brillantez. A pesar de que las obras de Frege apenas habían tenido repercusión en la comunidad científica y que incluso recibiesen una acogida más bien fría, Russell se fijó en los Grundgesetze der Aritmetik, publicados en 1894. En esta obra, el matemático alemán proponía asentar el concepto de número y por extensión a toda la Aritmética a partir de nociones lógicas, haciendo uso de definiciones explícitas y precisas y de deducciones mecánicas. La idea cautivó a Russell hasta el punto que marcaría una influencia total en toda su producción académica.

Sin embargo fue Russell el que, con el descubrimiento de la paradoja que lleva su nombre, pondría en tela de juicio los logros de Frege y de todo el planteamiento logicista.

La lógica de Frege

Como se vio en el artículo previo, Frege define un concepto P(x) como un tipo de función que toma como argumento un objeto cualquiera x y devuelve un valor de verdad, ya sea «verdadero» o «falso». Si, por ejemplo, interpretamos el concepto P(x) como «x es un científic, para luego sustituir la variable x por «Albert Einstein», el resultado es el valor verdadero. Así nace la proposición «Albert Einstein es un científico», que, en este caso es correcta. Decimos que «Albert Einstein» satisface o cae bajo la función P. «Picasso es un científico» es otra proposición, una que, por el contrario, no satisface P.

Evidentemente «Albert Einstein» no es el único que satisface dicha función predicado. Todos aquellos que hacen verdadero un concepto forman la extensión de dicho concepto, todos aquellos elementos son científicos. Para un concepto P, denotamos su extensión como εP.

El Principio de Comprehensión

Se conoce como Principio de Comprehensión aquel que afirma que a todo concepto (∀Χ) le corresponde una extensión (α).

∀Χ∃α∀x[Χ(x) ↔ x∈α]

Es por ello que podemos tratar de conceptos o extensiones de conceptos de forma equivalente. Utilizaremos el símbolo para denotar la pertenencia a una clase.

A partir de esta noción, Frege desarrolla la conocida como la Ley Básica V: las extensiones de dos conceptos (εF y εP) son iguales si, siempre que se cumpla que todos los términos que los mismos términos caigan bajo ambos conceptos.

(εF = εP) ↔ ∀x[F(x) ↔ P(x)] 

Esta ley afirma que, dos conceptos, que pueden ser diferentes como son «x es un descendiente actual de los dinosaurios» y «x es un vertebrado con plumas», bajo los cuales caigen los mismos objetos, comparten una misma extensión, la de las aves.

Este aserto es fundamental en el sistema pues Frege da uso de él para definir los números, tal y como vimos en el artículo previo.

La Paradoja de Russell

Como vemos, para referirnos a una colección arbitraria de elementos, podemos recurrir a un enunciado predicativo, un concepto que enuncie una propiedad compartida por dichos elementos («ser la tripulación del Apollo 11»). Este tipo de definiciones se conocen como intensionales. Por otro lado, también podemos enumerar los elementos que forman dicha colección («Neil Armstrong», «Michael Collins», «Buzz Aldrin»), lo que denominamos una definición extensional. Las relaciones entre ambos tipos de definiciones pueden llegar a ser problemáticas, pues para empezar, diferentes definiciones intensionales pueden hacer referencia a una misma extensión. Russell denominó a las extensiones como clases y mostró como efectivamente, la Ley Básica V de Frege arrastraba una contradicción que ponía en peligro el proyecto logicista.

Clases de clases

Denominemos como εΧ a una variable que represente una extensión/clase cualquiera ¿Existe una clase de todas las clases, que acoja a cualquier valor posible de εΧ? El lenguaje de la lógica nos permite expresar esto sin problemas. Veamos este caso expresado en el moderno lenguaje lógico:

∃εψ∀εΧ[εΧ ∈ εψ]

que se leería informalmente como:

«Existe una clase εψ tal que toda clase εΧ existe en εψ«

εψ es la clase que acoge todas las clases.

Clases singulares

Si existe una clase que acoge a todas las clases, necesariamente esa clase se contiene a sí misma, de lo contrarío habría una clase que no contendría: ella misma. Así que εψ ∈ εψ .

No hay nada contradictorio en clases que se autocontienen. Un ejemplo sería el libro donde se registran todos los libros de una biblioteca. El libro pertenece igualmente a la biblioteca, así que esta también  registrado. Otro ejemplo: la clase de todos los objetos que no son sillas; dicha clase es un objeto abstracto que no es una silla, por lo tanto forma parte de sí mismo. A este tipo de clases que se autocontienen se denominan clases singulares. Pues bien, podemos hablar de todas ellas como formando una clase, la clase de las clases que se contienen a sí mismas. De igual manera existirá la clase disyunta: la clase de todas las clases que NO se contienen a sí mismas.

∃εξ∀εΧ[(εΧ ∉ εΧ) ↔ (εΧ ∈ εξ)]

Enunciando la Paradoja de Russell

Pongamos nuestra atención en esta última clase ¿pertenece a sí misma? o, dicho de otra manera, ¿es una clase singular la clase de todas las clases que no son singulares? Si fuera efectivamente singular, dicha clase formaría parte de los elementos que la satisfacen. Pero esto no es posible, pues hemos dicho que solo las clases que no se contienen a sí mismas forman parte de ella. La otra opción, que la clase no fuera singular, implicaría que no se contiene a sí misma. Pero esto es contradictorio cuando hemos definido la clase precisamente como aquella que agrupa a todas las clases que no se contienen así mismas. Nos topamos pues con una contradicción insalvable.

En resumen la paradoja puede enunciarse como ¿Se contiene o no a sí misma la clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas? He aquí la Paradoja de Russell enunciada en lenguaje lógico, simplemente sustituyendo en la expresión anterior la variable εΧ por εξ:

∃εξ[(εξ ∉ εξ) ↔ (εξ ∈ εξ)]

Consecuencias de la paradoja

Crisis del proyecto logicista

La idea de utilizar el lenguaje de la lógica para expresa todo teorema matemático posible es lo que hemos llamado el proyecto logicista. La paradoja descubierta por Russell ponían en peligro dicho proyecto. Una sola contradicción en un sistema formal, una expresión de la que no podemos afirmar si es falsa o verdadera, lo convierte en un sistema incapaz de distinguir qué teoremas son correctos y cuales no. Todo el sistema se derrumba.

Russell hizo  pública la paradoja en 1903, pero un año antes había enviado a Frege una carta en la que exponía la contradicción. Las consecuencias fueron especialmente terribles. Desde hacía 30 años, Frege se había enfrascado en una obra destinada a fusionar de una vez por todas la Matemática y la Lógica. Cuando recibió una carta de Russell con la paradoja, Frege resultó profundamente conmovido hasta el punto de verse obligado a reconocer su impacto en el segundo volumen de los Grundsetzte, su obra definitiva.

 -Nada es más penoso para un escritor científico que una de las bases de su edificio se tambalee una vez el trabajo esté acabado- 

Gottlob Frege. Apéndices de los Grundgesetze. 1903

Por su parte, Russell consideró que el proyecto logicista como tal era salvable y continúo con el hasta la publicación de su obra magna: los Principia Mathematica, un basto trabajo realizado en colaboración con su antiguo profesor Alfred North Whitehead. En los Principia, Russell reconoce las paradojas y desarrolla la llamada Teoría de Tipos que permite solventarlas y que será el tema de nuestro próximo artículo.

Cantor y la paradoja

¿Qué hay de Cantor y sus transfinitos? Aunque partía de antecedentes muy diferentes a los de los proyectos logicistas, Bertrand Russell descubrió la Paradoja inspirado por los descubrimientos de Cantor.

Mucho se ha discutido acerca de las consecuencias de la Paradoja de Russell en la Teoría de Conjuntos cantoriana. Los logicistas como Frege y Russell concebía las clases como agrupaciones de objetos en base a alguna ley o regla que los agrupase en una unidad, es decir, en definiciones intensionales. El planteamiento de Cantor es bien diferente: un conjunto no atiende a las razones que dan unidad a sus elementos, sino su numerosidad, a la posibilidad de que puedan enumerarse. No hay en los planteamientos de Cantor ninguna posibilidad de aportar una definición intensional de los conjuntos y por tanto tampoco es posible enunciar conjuntos que se autocontienen. Dos conjuntos son iguales sí y solo sí los elementos que los forman son los mismos, lo cual, compromete tan solo una perspectiva extensional. Para el alemán, su definición de conjunto le blindaba frente a la contradicción descubierta por Russell. 

Problemas de la Teoría de Conjuntos

Hemos afirmado aquí que la Paradoja de Russell apenas afecta a la solidez de la Teoría de Conjuntos cantoriana. Sin embargo arrastraba sus propios problemas. Será conveniente revisarlos para comprender el futuro de la Teoría de Conjuntos.

Los números ordinales

La definición de conjunto de Cantor partía del buen orden, es decir, la posibilidad de ordenar linealmente una sucesión de elementos, existiendo un elemento que fuese el primero de todos. Dado que Cantor, a diferencia de Frege, partía del conteo de elementos para definir una agrupación, el buen orden era un principio fundamental en toda su teoría.

Solo si se encuentra ordenada linealmente puede un conjunto contarse ser contado por otro conjunto también lineal. Si dos conjuntos pueden contarse mutuamente -es posible una biyección-, ambos conjuntos comparten un tipo de orden o número ordinal.

Si dos conjuntos pueden enumerarse mutuamente comparten un mismo «tipo de orden». No es lo que ocurre en la imagen; el conjunto B no alcanza a enumerar el conjunto A o, en otras palabras, no pueden contarse mutuamente. Decimos que su tipo de orden es diferente y por ello A>B.

Los números ordinales, o simplemente números, surgían de estos tipos de orden, como una abstracción de la posibilidad de contar.

La Paradoja de Burali-Forti

Los números pueden contarse así mismos. El conjunto de los números ordinales se encuentra también bien ordenado y es por ello que decimos que es un conjunto y que que puede, por tanto, ser contado. ¿Cabe preguntarse qué ordinal corresponde al conjunto de los números?

Pues lo cierto es que suponer que existe un conjunto de todos los ordinales arrastra una contradicción. Es la llamada Paradoja de Burali-Forti. Contar a todos los números ordinales nos devolvería un número: el ordinal de dicho conjunto. Pero tal número se debería encontrar en el conjunto mismo que pretendemos contar. Tal ordinal definiría una sección dentro conjunto infinito, lo que implicaría que la serie de ordinales sigue con ordinales mayores. No podría ser por tanto el ordinal del conjunto de todos los ordinales, lo cual contradice la premisa ¿Si un conjunto no tiene ordinal, es legítimo tratarlo como un conjunto?

La Paradoja de Cantor

Para los cardinales, Cantor había descubierto otra paradoja muy en línea con la de Burali-Forti. El Teorema de Cantor visto en artículos previos afirma que, si existe un cardinal ℵ_{0}, necesariamente existirá un cardinal mayor ℵ_{1}. El mismo teorema nos asegura también un ℵ_{2} y un ℵ_{3}, etc… una ristra de infinitos transfinitos. Siempre es posible aplicar el teorema y seguir generando nuevos infinitos cada vez mayores. Un conjunto que agrupase a todos los cardinales no contendría el cardinal de su conjunto potencia y por tanto, no sería el conjunto de todos los cardinales. Esta es la llamada Paradoja de Cantor por ser resultado del teorema del mismo autor.

El Absoluto de Cantor

Al igual que la Paradoja de Russell exponían las dificultades para poder hablar de una clase de todas las clases, estas paradojas hacían inviable que pudiese existir tanto el conjunto de todos los ordinales como el de todos los cardinales, muy a pesar de que se encuentren bien ordenados y que por tanto, sean conjuntos de acuerdo a la definición de Cantor.

Cantor reconoció tímidamente la existencia de estas paradojas. Para él estos eran ejemplos de lo que denominó «totalidades inconsistentes», infinitos absolutos. Para un espíritu piadoso como era el de Cantor, la mente humana es capaz de reconocer estas infinitudes, pero su comprensión solo es posible para una inteligencia divina. Por ello las conocía también como el Absoluto. Se trataban pues de agrupaciones de elementos que no podían formar un conjunto a pesar de estar bien ordenados.

Conclusión

Estas paradojas fueron objeto de intenso debate en los primeros años del siglo XX. En todo lenguaje formal al que aspira una teoría matemática, la presencia de una sola contradicción es una verdadera catástrofe. Es sabido que, a partir de una inconsistencia es posible derivar todos los teoremas, aunque sean contradictorios entre sí. Los intentos de fundamentar la matemática en conjuntos o en clases parecían estar corrompidos en sus pilares más profundos. El edificio de la matemática se tambaleaba.

Sostener la Teoría de Conjuntos sobre la idea de buen orden arrastraba paradojas. Y hacerlo sobre el Teorema de Cantor del conjunto potencia también. Cantor no fue capaz en su vida de ofrecer una demostración de la Hipótesis del Continuo, necesaria para asegurar que los cardinales alef se suceden unos a otros. Tampoco convenció el papel tan relevante otorgado al buen ordenamiento para justificar los conjuntos.

A pesar de todo, los descubrimientos de Cantor y el proyecto logicista de Frege habían sido grandes aportes a los fundamentos de la matemática. Podían ser salvados. En los próximos artículos veremos la evolución de ambas corrientes.

Lecturas Recomendadas

 – Lombraña, J. V. (1999) Historia de la Lógica.

– Torretti, R. (1998) El paraíso de Cantor: La tradición conjuntista en la filosofía matemática.

– Ferreiros, J. (1999) Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics.

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