La Teoría de la Prueba

David Baños Abril

¿Podemos demostrar que las bases de la Matemática son seguras? Ese fue el objetivo de Hilbert a lo largo de los años veinte del siglo pasado, objetivo que suponía convertir en objeto de estudio la herramienta más poderosa de un matemático: la demostración. La Teoría de Prueba es el resultado de estas investigaciones.

¿Qué es una prueba?

Toda demostración matemática comienza con unos supuestos, a partir de los cuales y haciendo uso de una argumentación extremadamente precisa, obtenemos nuestro enunciado con suficiente seguridad. Todo ello conforma una prueba del enunciado. El objetivo de Hilbert es ofrecer una definición rigurosa de esta prueba matemática, a partir de la cual investigar la naturaleza y las propiedades del conocimiento que estamos adquiriendo haciendo uso de ella. Si dirigiendo nuestro interés científico a la prueba podemos demostrar que su uso da forma a un sistema consistente, carente de contradicciones, entonces seremos capaces de disipar las dudas acerca de posibles paradojas en algunas de los campos más fértiles de la Matemática.

Así como el físico examina sus instrumentos, el astrónomo su posición, y el filósofo se dedica a la crítica de la razón, así es que el matemático necesita de su teoría de la prueba, para asegurar cada teorema matemático mediante una crítica de esa demostración.

-David Hilbert. 

Matemática formal

Hilbert afirma que toda rama de la matemática puede ser concebida como una estructura de fórmulas que expresan nuestros conocimientos del campo. Así, un enunciado como » dos números iguales comparten un mismo antecesor» podemos traducirlo a una fórmula como (a = b) → (δ(a) = δ(b))

Este procedimiento permite traducir el contenido de los enunciados, es decir su comprensión intuitiva, en un conjunto ordenado de símbolos. Estas fórmulas, por sí mismas, son objetos de estudio. En la Teoría de la Prueba la deducción a partir del significado es sustituida por la manipulación de símbolos. Comenzando por fórmulas elementales y aplicando reglas deductivas que especifican con total precisión cómo debe llevarse a cabo dicha manipulación simbólica, podemos generar nuevas fórmulas que reflejen nuevos contenidos matemáticos.

Así, toda fórmula matemática es el resultado de la aplicación de un número finito de veces de las reglas de inferencia teniendo uno o varios axiomas como punto de partida. Una demostración no es más que una cadena de teoremas: en uno de los extremos se encuentran uno o varios axiomas, en el otro, el enunciado a demostrar. En palabras de Hilbert convertimos una teoría matemática en un inventario de fórmulas.

Metamatemática

Una vez formalizada una teoría matemática como una estructura de fórmulas, la Teoría de la Prueba plantea recurrir a los mecanismos ordinarios de deducción matemáticos para estudiar las propiedades de la estructura, como puede ser su consistencia. Así, para Hilbert, la ciencia matemática es una continua alternancia entre dos formas de investigación: una formal limitada a la manipulación mecánica de símbolos y otra fundamentada en el contenido significativo que guía nuestra comprensión intuitiva.

Esta última es la Metamatemática a la que recurre Hilbert para demostrar las consistencia de la Matemática estrictamente formal. Por supuesto esta Metamatemática no se encuentra sometida a las mismas restricciones que la matemática formalizada. Veremos en este artículo los diferentes mecanismos de deducción que operan en ambas.

El problema de la consistencia

Desde los inicios históricos de la lógica se sabe que un sistema inconsistente implica que no existe una limitación en las posibles fórmulas derivables en dicho sistema. Este es el principio ex falso quodlibet. El esquema básico de cualquier contradicción es el siguiente:

A ∧ ¬A

En la lógica proposicional, la fórmula A ∨ B es verdadera siempre que A o B o ambas sean ciertas, sin importar si una implica la otra. Entonces una sola contradicción implica que las expresiones

A ∨ B
¬A ∨ B

sean ambas verdaderas, sea cual sea B, que sería cierta en cualquier caso.

En otras palabras, o bien todas las fórmulas son demostrables por el sistema o bien el sistema es consistente. Una sola contradicción y el sistema se derrumba. Hilbert recurre a una expresión contradictoria en concreto: 0 ≠ 0. La Teoría de la Prueba pretende pues «meta-demostrar» que 0 ≠ 0 es indemostrable en un sistema axiomático que refleje la Aritmética.

El sistema formal de la Aritmética

El primer paso en la Teoría de la Prueba y la demostración de la consistencia de la Aritmética es, como indicamos, convertir esta rama de la matemática en un conjunto de fórmulas o cadenas de símbolos. Para ello es necesario un lenguaje que determine los posibles símbolos y disponga las posibilidades de combinación entre ellos, así como de la formación de nuevas expresiones. Todo ello debe reflejar nuestra comprensión intuitiva de la naturaleza de los números.

El lenguaje de la Aritmética

El primer paso de este repertorio de fórmulas que refleje los principios de la Aritmética será determinar qué signos estarán incluidos y cómo pueden combinarse entre ellos.

Estos incluyen signos numéricos (2, 15, etc..) así como funciones (f(*), g(*), etc…) que pueden ser completadas por otros signos numéricos o funciones. También se incorporan signos para designar estos símbolos de forma indeterminada, es decir variables; letras latinas (a, b, c, etc…) para los signos numéricos y letras griegas (ψ(*), φ(*), μ(*), etc…) para las funciones. Todos ellos conforman los términos del lenguaje. Cuando colocamos uno de estos signos a ambos lados del símbolo = o , obtenemos una fórmula elemental, lo que coloquialmente denominamos ecuación. En el sistema de Hilbert, siguiendo su aspiración de unificar la lógica y la aritmética, se incluyen también los signos y ¬, que aplicados a ecuaciones resultan en una fórmula. Dentro de nuestro sistema también se ofrecerá la posibilidad de expresar tanto fórmula como fórmulas elementales como variables. Recurriremos a letras latinas mayúsculas (A, B, etc…).

Los axiomas de la Aritmética

A lo largo de los años veinte en los que Hilbert desarrolla su Teoría de la Prueba los sistemas axiomáticos que presenta difieren con cada nueva publicación. Aquí reproduciremos los que aparecen en el artículo «Fundamentos de Matemáticas» publicado en 1923, año en que la Teoría de la Prueba había alcanzado ya un cierto grado de madurez.

En total son diez axiomas que combinan tanto aquellos propios de la Lógica Proposicional como de la Aritmética. Los seis primeros axiomas establecen el uso de los símbolos lógicos de implicación y negación ¬. Los cuatro últimos son propios de la Aritmética al fundamentar los signos = y , así como la función δ(*): «antecesor de».

I          A → (B → A)

II        (A → (A → B)) → (A → B)

III       (A → (B → C)) → (B → (A → C))

IV       (B → C) → ((A → B) → (A → C))

V         A → (¬A → B)

VI       (A → B) → ((¬A → B) → B)

VII      a = a

VIII    (a = b) → (A(a) → A(b))

IX       a+1 ≠ 0

X        δ(a+1) = a

Sustitución

¿Cómo generar nuevas fórmulas a partir de estos axiomas? Hilbert establece dos diferentes procedimientos. El primero consiste en sustituir las variables por objetos determinados. Así, del axioma VII  a = a, podemos deducir por sustitución la ecuación 1 = 1 o δ(a) = δ(a).

Como ejemplo del funcionamiento de las sustituciones podemos combinar el axioma  III y VIII:

((a = a) → (A(a) → A(b)) → (A(a) → ((a = a) → A(b)))

Modus Ponens

El segundo procedimiento consiste en seguir el esquema de inferencia conocido como modus ponens el cual, recurriendo a letras góticas para denotar fórmulas cualesquiera de nuestro lenguaje, expresar que:

\mathfrak{A}
\mathfrak{A} → \mathfrak{B}
\mathfrak{B}

o de forma equivalente (\mathfrak{A} ∧ (\mathfrak{A} → \mathfrak{B})) → \mathfrak{B}, que, en lenguaje ordinario vendría a decir que si la fórmula \mathfrak{A} está demostrada, y si \mathfrak{A} demuestra \mathfrak{B}, entonces demostramos \mathfrak{B}. Las expresiones por encima de la línea se conocen como premisas, y la de debajo, deducción o fórmula final.

Nótese el uso de letras góticas. Esto es así porque el tal esquema de inferencia no es una fórmula del sistema aritmético sino una expresión a la que recurrimos para describir el procedimiento por el que se generan nuevas fórmulas en el sistema.

Continuando con el ejemplo:

((a = a) → (A(a) → A(b))
((a = a) → (A(a) → A(b)) → (A(a) → ((a = a) → A(b)))
(A(a) → ((a = a) → A(b)))

Esta última fórmula queda pues demostrada.

Aritmética transfinita

Los axiomas anteriormente expuestos son suficientes para derivar a partir de ellos los teoremas propios del a Aritmética básica, aquella que concierne a los números naturales 1, 2, 3… Pero es insuficiente si buscamos la extensión de nuestra Teoría de la Prueba al Análisis y los números reales. Podemos constatar que de entre los axiomas no cabe la posibilidad cuantificación, es decir, de realizar afirmaciones concernientes a la totalidad de una colección de objetos, algo que caracteriza a la Lógica de Primer Orden. Pero recordemos, de los artículos dedicados a Cantor y Dedekind, que todo número irracional es equivalente a un conjunto infinito determinado de números racionales. 

Inducción transfinita

Necesitamos introducir una herramienta que nos permita reflejar en forma de operaciones finitas con símbolos los razonamientos aplicados a colecciones infinitas propios de la Aritmética más avanzada. El recurso utilizado hasta ahora era el uso de los cuantificadores «para todo» y «existe un» . Como hemos repetido varias veces a lo largo de esta serie, existe una enorme diferencia entre incluir un axioma como a = a, pudiendo sustituir a por cualquier número, que afirmar ∀a[a = a]. Esto último incurre en una afirmación acerca de una totalidad infinita, una que no puede ser expresada en un número finito de pasos. Hilbert, como tantos otros antes que él, ya había advertido acerca del riesgo de extender las formas de razonamiento propias de conjuntos finitos a colecciones infinitas.

Tercio Excluso

El principio de Tercio Excluso o tertium non datur afirma que dada una colección de objetos y una determinada propiedad solo existen dos opciones: o bien todos los objetos cumplen dicha propiedad o bien existe al menos uno que no la satisface. Es un principio evidente para colecciones finitas; si existe un objeto que no satisfaga una propiedad, estamos seguros que antes o después, en una serie finita de pasos, no toparemos con él. ¿Podemos aplicarlo a colecciones infinitas? Si existiese un número que no satisfaga la ecuación a=a lo encontraríamos en un número finito de pasos y podríamos concluir que no todos los números cumplen la ecuación. No es tan claro cómo podríamos decidirnos por la opción alternativa, que todos la cumplen. 

A pesar de la polémica que rodea el Tercio Excluso, Hilbert no busca tanto resolver las repercusiones filosóficas del principio como en demostrar que su inclusión como axioma formalizado no supone ninguna amenaza a la consistencia de la Aritmética. Y este es el objetivo de su Teoría de la Prueba.

Función Transfinita

Hilbert da forma a un operador que determina cuando una propiedad se cumple para los elementos de un conjunto, sea o no infinito (Tercio Excluso) y si no es el caso selecciona el objeto contradictorio (Axioma de Elección). Tal operador es conocido como función transfinita τ(*). Podemos entender a τ(*) como un operador «buscador de contraejemplos». En palabras del propio Hilbert: «tomemos por A el predicado ‘sobornable’. Entonces τ(A) sería un hombre definido con un sentido de la justicia tan firme que, si resultara ser sobornable, entonces, de hecho, todos los hombres son sobornables.» Así, τ(A) puede entenderse como un supuesta contradicción: si la propiedad se cumple para dicha contradicción, entonces se cumple para todos.

A(τ(A)) → A(a)

Comprobamos como podemos recurrir a τ(*) para construir expresiones equivalente a las que nos ofrecen los cuantificadores usados en la lógica de Primer Orden:

 A(τ(A)) ≡ ∀a[A(a)].

 A(τ(¬A)) ≡ ∃a[A(a)].

Axioma transfinito

La función transfinita se incorpora al sistema formal como un nuevo axioma que se suma a los diez anteriores y que se conoce como Axioma Transfinito. La función transfinita toma como argumento cualquier función numérica, cuyo dominio y codominio sean los números naturales y que cada caso pueda ser solucionado en un número finito de pasos, como por ejemplo f(a) = 2a. Si para todo a ocurre que f(a) = 0, entonces τ(f) = 0. Si por el contrario existe algún a tal que f(a) ≠ 0 entonces τ(f) = a. Digamos que τ selecciona el primer a que cuya imagen en f no sea 0

(τ(f) = 0) → ∀a[(f(a) = 0)]
(τ(f) ≠ 0) → ∃ξ[(f(ξ) ≠ 0)]

Si la función efectivamente se cumple para todos los números, incluido el 0, entonces, como hemos dicho τ(f) = 0 y por tanto f(τ(f)) = 0. Y así aparece el nuevo axioma que incorpora Hilbert:

XI       (f(τ(f)) = 0) → (f(a) = 0)

Debe quedar claro que el papel que cumple este axioma es introducir en el sistema formal el tertium non datur: es posible decidir si una determinada propiedad (en este caso f(a) = 0) se cumple o no para todos los números.

Cálculo de Épsilon

Wilhelm Ackermann, discípulo de Hilbert,daría forma a una nueva formalización que el propio Hilbert asumiría en sus propias investigaciones de finales de la décadas de los veinte. El «operador detector de contraejemplos» τ(*), se transforma en el «operador testigo» ε(*) (épsilon). Los principios sobre los que se fundamenta son exactamente los mismos que el anterior: el Principio de Tercio Excluso y el Axioma de Elección. Gracias a este operador se logra una mayor simplicidad en el sistema formal lógico-aritmético, sin perder capacidades expresivas. εA designa un objeto arbitrario que cumple la propiedad A. Al igual que τ(*), es posible utilizarlo para sustituir a los cuantificadores.

∀a[A(a)] ≡ A(ε¬A)
∃a[A(a)] ≡ A(εA)

Hilbert sustituiría el Axioma Transfinito por

A(x) → A(εA)

Conclusión

Hilbert tan solo esbozaría una demostración de la consistencia del nuevo Axioma Transfinito con ε a lo largo de la mitad de la década de los veinte. El problema se había vuelto mucho más complejo en tanto que, para extender el sistema axiomático al Análisis era necesario dar el salto a una Lógica de Segundo Orden, es decir, abrir la puerta a operadores ε construidos haciendo referencia a la totalidad de operadores ε.

Será Ackermann en 1924 el primero en ofrecer una prueba completa como tal, siendo sin embargo una demostración fallida por lo restringido de sus conclusiones. Llegaría el turno de Von Neumann quien platearía una demostración más robusta, aunque alejada de los principios ofrecidos por Hilbert. De todas formas, para 1930 la consistencia de gran parte de la Aritmética más avanzada era un asunto aún sin dilucidar.

Lecturas Recomendadas

– Hilbert, D. (1923) Foundations of Mathematics.

Aprende a programar redes neuronales desde cero.

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