Lógica de Primer Orden

David Baños Abril

La Lógica de Primer Orden, conocida también como Lógica de Predicados, permite distinguir entre sujeto y predicado, haciendo así posible el estudio del contenido de los enunciados, algo que no era posible con la Lógica de Proposiciones.

Potencia de la Lógica de Primer Orden

La Lógica de Primer Orden tiene como base la Lógica Proposicional que ya hemos visto, pero con capacidades expresivas mucho mayores que esta. Al igual que la Lógica Proposicional, la de predicados tendrá un parte que atañe a las reglas combinatorias de símbolos para generar fórmulas -Sintaxis de Primer Orden- y otra que atañe a los valores de verdad de dichas fórmulas -Semántica de Primer Orden-. De la misma manera, podremos con ella dar forma a Sistemas Lógicos y estudiar sus propiedades metalógicas.

En este artículo damos a entender que el lector ha leído los artículos anteriores o conoce superficialmente la Lógica Proposicional. Por ello nos ceñiremos exclusivamente a las novedades que aporta la Lógica de Primer Orden. Comenzaremos con un problema que es irresoluble usando solo proposiciones y conectores:

El asesino de Marion estuvo en la habitación del motel

La señora Bates no estuvo en la habitación del motel

Luego la señora Bates no es el asesino de Marion

A primera vista esta deducción es bastante evidente. Pero si la tradujésemos al lenguaje de la lógica proposicional daría lugar a:

(P ∧ Q) → R .

Se trata de proposiciones entre las que no existe una relación lógica formulable en términos de conectores. Por ello, es imposible expresar mediante la Lógica Proposicional lo evidente de la conclusión.

Elementos de la Lógica de Primer Orden

Pero la Lógica de Primer Orden que veremos ahora permite solucionar esto. La novedad que añade es la posibilidad de descomponer una proposición. Esto es en parte equivalente a distinguir dentro de una oración qué es el sujeto y qué el predicado.

En Lógica de Primer Orden usaremos tres tipos de entidades: los predicados, las constantes y las funciones.

Predicados

La Lógica de Primer Orden es conocida también como Lógica de Predicados puesto que son estos los que dan origen a sus particularidades. Los predicados lógicos se asemejan a los predicados gramaticales. La frase «Norman Bates es el asesino» consta de un sujeto «Norman Bates» y un predicado «es el asesino». En lógica usaremos las letras mayúscula para denotar los predicados, y letras minúsculas para denotar a los «sujetos». Por ejemplo, la fórmula siguiente:

A(x)

Los «sujetos» de la Lógica de Primer Orden que acompaña al predicado se conoce como variables de individuo, en el caso de nuestro ejemplo, x. Estas variables deben de verse como incógnitas de ecuaciones algebraicas, sustituibles por diferentes elementos. Por ejemplo, esa x podría interpretarse como «Norman Bates». Las variables pues indican que uno o varios elementos indeterminados cumplen tal propiedad. A diferencia del sujeto gramatical, pueden existir varias de estas variables para un solo predicado. Así, un predicado binario como «x es el asesino de y» se expresaría 

S(x, y).

Cuando las variables de individuo acompañan a los predicados de la forma que hemos puesto, decimos que son los argumentos de ese predicado. Un predicado podrá tener uno, dos, tres, etc.. argumentos. A los predicados con un solo argumento los denominamos propiedades. A los que tengan más de un elemento, se llaman relaciones. Incluso puede darse la situación de que no tengan ningún argumento. En ese caso, los predicados se denominan variables proposicionales, las mismas que vimos en los artículos previos.

Predicados como conjuntos

Uno de los mayores logros de la lógica fue la vinculación de las expresiones lógicas con conjuntos. Así, será conveniente entender los predicados como conjuntos de elementos. Véase la equivalencia entre decir «x tiene la propiedad P» y «x pertenece al conjunto de elementos que tienen la propiedad P«. Lo que podría parecer una forma de rebuscar el lenguaje, resultará ser muy útil en los artículos venideros. 

Veamos un ejemplo. Si el predicado H(x) lo interpretásemos como » x huyó de la policía», resultaría en un conjunto de elementos que recoge a todos aquellos que huyeron de la policía. Evidentemente los elementos de este conjunto serán diferentes si el ámbito de aplicación se ciñe a una ciudad como Phoenix, o si se amplia a todo el estado de Arizona.

Constantes

Las constantes individuales se escriben también con letras minúsculas y se utilizan para hacer referencia a un elemento concreto. Se distinguen de las variables de individuo en que refieren a un elemento determinado. La interpretación de las constantes permanecerá invariable en las diferentes fórmulas de un misma sistema lógico donde pueda aparecer. Normalmente se denotan con la letra c.

Funciones

En la Lógica Proposicional también debemos hacer hueco para las funciones. Al igual que los predicados las funciones deben ser provistas de argumentos. Pero a diferencia de estos, que sirven para expresar un individuo indeterminado de un conjunto de elementos, las funciones expresan relaciones entre sus argumentos y uno y solo un valor. Se denotan también con letras minúsculas seguidas de sus argumentos. Por ejemplo f(x). Como los predicados, habrá funciones con diferente aridad -número de argumentos-. g(x, y, z) sería una función triaria, de aridad 3 . No existen funciones de aridad 0 .

Cuantificadores

Los cuantificadores permiten expresar el vínculo entre un predicado y un conjunto de  elementos. Cuando queremos expresar que un predicado es aplicable a todos los elementos del conjunto utilizamos el cuantificadores universal , que podría traducirse como «para todo»

∀x[P(x)]

La propiedad P se cumple para todo x.

Cuando queremos expresar que existe al menos un elemento de ese conjunto (sin especificar cual) que pertenece al conjunto del predicado, utilizamos el cuantificador existencial . En lenguaje ordinario diríamos «existe al menos un».

∃x[P(x)]

La propiedad P se cumple para al menos un x.

En este ejemplo vemos que la fórmula ∀x[P(x)] es falsa, pues no todos los elementos del conjunto tienen la propiedad P. En cambio la fórmula ∃x[P(x)] sí que resulta verdadera: existe al menos un elemento de A que cumple la propiedad P.

Fórmulas con cuantificadores

Veamos la siguiente fórmula de ejemplo con su correspondiente versión «transliterada».

∀x ∃y[R(x, y)]

«para todo x existe al menos un y tal que R(x, y)«

Toda interpretación de una fórmula requiere de un conjunto de referencia a partir del cual poder interpretarse sus predicados y variables. En este ejemplo diremos que dicho conjunto es el conjunto de personas. Podríamos querer expresar con esta fórmula una oración del lenguaje común como «El mejor amigo de un chico es su madre». Siendo así, el predicado se interpretaría como una relación binaria, R = «el mejor amigo de x es y«. Sin embargo, dado que no se especifica ninguna propiedad de x ni y, la interpretación de esta fórmula se quedaría en «El mejor amigo de una persona es una persona». Pero no es exactamente lo que queremos decir, dado que buscamos acotar al conjunto de chicos, y al conjunto de madres. Así, una expresión más precisa sería:

∀x[C(x) → R(x, m(x))]

«para todo x, si x cumple la propiedad C entonces se cumplirá la relación R(x, m(x))«

interpretando C como «ser un chico», R como «el mejor amigo de x es y» y una función m(x), «la madre de x«, que asocia a cada x un único individuo, que será su madre.

Variables libres y ligadas

Se denominan variables ligadas cuando una variable de individuo está acompañada por un cuantificador. Se conocen como variables libres en caso contrario. Por ejemplo, en la fórmula ∃x [P(x, a)], la variable x es una variable ligada, mientras que a es una variable libre.

Normalmente suele usarse las primeras letras del abecedario (a, b, c…) para denotar variables libres, mientras que usamos las últimas (x, y, z…) para las variables ligadas.

Lecturas recomendadas

 – Kolmogórov, A.N. y Dragalin, A.G. (2013) Introducción a la lógica matemática.

 – de Swart, H. (2018) Philosophical and Mathematical Logic.

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