Los Axiomas de Peano

David Baños Abril

Los Axiomas de Peano constituyen uno de los primeros intentos de fundamentar la Aritmética recurriendo a un lenguaje lógico. Este logro fue alcanzado mucho antes de que surgieran los principios expresivos que caracterizan la lógica moderna y que hemos visto hasta ahora en esta serie. Sin embargo fue Giuseppe Peano, un matemático italiano, el primero en dar forma a muchos de estos modernos símbolos usados en la lógica actual.

Logicismo y axiomática

A finales del siglo XIX una corriente fundamentalista se apoderó del espíritu matemático de la época. Conceptos elementales como número o función comenzaron a ser puestos en duda y a exigírseles una definición más rigurosa. Muchos se volvieron hacia la lógica, rodeada de un aura de racionalismo y precisión. La lógica no era más que la formalización estricta del lenguaje humano, una formalización que procuraba verdades más allá de la experiencia, certezas trascendentes e intemporales.

¿Porqué no habría de ser usada en la matemática, ciencia de los universales? Esta corriente que buscaba fundamentar la matemática sobre principios y recursos expresivos propios de la lógica es conocida como logicismo. Le hemos dedicado un artículo a esta doctrina y a su fundador el filósofo y matemático alemán Gottlob Frege.

Giuseppe Peano, era afín a esta corriente logicista. Su objetivo era recurrir a un lenguaje lógico para dar forma a los principios que sostienen la Aritmética, especialmente el concepto básico de número natural (1, 2, 7, 4576, etc..). Recordemos que, para muchos matemáticos, la Aritmética era la madre de las ciencias exactas. Es por ello que sus cimientos son los cimientos de la matemática al completo. Los Axiomas de Peano aspiraban a tal objetivo, pero contribuyeron a posteriores intentos mucho más ambiciosos.

La axiomatización de la Aritmética

Además del lenguaje lógico, Peano recurrió a uno de los métodos más antiguos y prestigiosos cuando se trata de fundamentar las bases de un teoría de forma rigurosa. Nos referimos a la axiomatización. Este proyecto es de un relevancia fundamental para toda la matemática, pues gran parte de los sistemas axiomáticos (como el de la Geometría de Hilbert) son consistentes solo en relación a la Aritmética. De la consistencia absoluta y autónoma de la Aritmética dependen la consistencia de otras ramas de la matemática. Estamos pues, ante un problema de absoluta relevancia dentro de la matemática.

Los Axiomas de Peano

Peano se valió de los recursos simbólicos que ofrecía la lógica para su fundamentación de número natural, y de hecho, gran parte de la notación simbólica que usamos en la actualidad se la debemos a Peano.

Los Axiomas de Peano vieron la luz en un artículo de 1889 escrito en latín. En un comienzo fueron nueve axiomas pero terminaron siendo simplificados en cinco. A partir de los cuales se construyen los números naturales, los elementos con los que opera la Aritmética. Evidentemente para llevar a cabo esa tarea no podemos partir de la propia noción de número. La idea de Peano es construir una estructura simbólica que modelice la estructura de los números naturales. Veremos en adelante cómo fue posible esto.

Nociones primitivas

Peano establece un conjunto de nociones primitivas. Estas se caracterizan porque son conceptos que se dan de antemano sin definirse, y solo a través de los axiomas estableceremos los vínculos que lo conectan con el resto de conceptos. Peano ofrece cuatro de estas nociones primitivas, cada una con su respectivo símbolo: 

Números enteros: N

Unidad: 1

Sucesor: s

Igualdad: =

El objeto unidad no es equivalente al número uno. De hecho, veremos que puede representar tanto el número cero como el uno.

Lenguaje para la axiomática de Peano

No utilizaremos la notación que en su día elaboró Peano. Usaremos un lenguaje de la Lógica de Predicados para expresar los Axiomas de Peano. Queremos mostrar cómo podemos recurrir a la lógica para hablar de matemáticas.

Así, transformaremos las ideas primitivas en símbolos extralógicos: N será un predicado monádico, 1 una constante, s una función monádica que asocie dos objetos y el símbolo = para denotar la igualdad entre símbolos. Como todo lenguaje de Primer Orden, haremos uso de los símbolos lógico habituales como , o ¬, y también de variables de individuo (x, y, etc..), que denotan objetos cualesquiera.

Los cinco axiomas de Peano

Este alfabeto lo utilizaremos para dar forma a los cinco axiomas que forman el sistema de Peano y que nos permitirán construir los números naturales:

N(1)

El objeto unidad tiene la propiedad de ser un número entero (o, de forma equivalente, de pertenecer al conjunto de los números naturales).

Este es el axioma que establece que existe al menos un elemento en un conjunto llamado números enteros. Será la base desde la que partir.

∀x∃y[N(x) →(N(y) ∧ (y = s(x))]

Para todo objeto x que sea un número entero existe un objeto que es su sucesor y que tiene la propiedad también de ser un número entero.

Usar variables diferentes, x e y , no implica que hagan referencia a objetos distintos. Por eso, bien podríamos estar construyendo una aritmética en la que el sucesor de un objeto x sea el mismo objeto x.

Pero queremos crear un conjunto infinito que genere uno tras otro todos los diferentes números naturales, no que acabe en un bucle. Necesitamos más axiomas para establecer esta unidireccionalidad.

¬∃x[s(x) = 1]

No existe ningún objeto x cuyo sucesor sea igual a la unidad.

Con esto conseguimos que la aplicación de la sucesión no nos lleve al objeto unidad inicial desde el que partimos. Aun así, dejamos la puerta abierta a posibles bucles en la generación de sucesores.

∀x∀y[(s(x) = s(y))→(x = y)]

Para todo objeto x y para todo y, si el sucesor de x es igual al sucesor de y, entonces x e y son iguales

Esto elimina cualquier bucle, pues impide que un objeto sea el sucesor de dos objetos distintos.

Iinducción matemática

El Axioma de Inducción

Nos queda un último axioma con el que nos detendremos más profundamente:

∀K[(K(1)∧∀x[K(x)→K(s(x))])→∀x[K(x)]

Para cualquier propiedad K, la que sea, que la satisfaga tanto nuestro objeto base unidad como el sucesor de cualquier objeto x que cumpla dicha propiedad (que sea heredable), entonces esa propiedad se cumple para todos los objetos. Este axioma es el conocido como Axioma de Inducción.

La propiedad de inducción

 Ya nos hemos topado antes en esta serie con el fenómeno de inducción. Se debe a dos principios que deben cumplirse:

 – un caso base que cumple la propiedad y desde el que comenzar a avanzar. En la axiomática de Peano es la unidad que cumple la propiedad número entero.

 – una forma de generar un nuevo objeto que cumple la propiedad a partir de uno dado. Los axioma de Peano establecen la función sucesor.

Si a la unidad le aplicamos el segundo principio (lo que llamamos «iterar») resulta el sucesor de la unidad. Si a este le aplicamos de nuevo dicho principio resulta el sucesor del sucesor de la unidad, y así sucesivamente, sin establecer límite alguno. Por el Axioma de Inducción, en cada iteración los sucesores heredan la propiedad del elemento anterior desde el elemento base. Así, si dicha propiedad fuera «ser un número natural», entonces todos los sucesores de la unidad tendrán también dicha propiedad.

Lógica de Segundo Orden

El Axioma de Inducción tiene una propiedad interesante más. Si nos fijamos de nuevo en la formulación del axioma vemos que comienza sobre un cuantificador aplicado sobre una propiedad: «∀K«. Esto no lo hemos visto hasta hora, pues responde a un lenguaje de la Lógica de Segundo Orden. Este lenguaje nos permite cuantificar no solo los elementos de una propiedad, sino también propiedades. Para lógicas de orden mayores serían propiedades de propiedades, y así sucesivamente. Desde un punto de vista semántica sería como disponer no ya de un solo universo, sino de múltiples, y comprobar si en ellos se cumple una misma propiedad dada.

Infinitos números naturales

Pero lo relevante es lo que queremos expresar con esta fórmula de Segundo Orden. Para ello debemos fijarnos en lo que queremos decir cuando hablamos de inducción. Y es que, tal como la hemos expresado, la inducción no establece ningún límite a la aplicación de iteraciones. De aquí deducimos que estas iteraciones pueden potencialmente aplicarse infinitas veces. Pero en matemáticas, una cosa es deducir el infinito potencial, y otra es expresar explícitamente el infinito como entidad propia.

Aquí es donde entra el cuantificador de la propiedad, pues con ello conseguimos expresar que dicha inducción es válida para la propiedad que sea, ya tenga esta uno o infinitos elementos (estamos entendiendo «propiedad» como equivalente a «clase»). En otras palabras, el axioma de inducción se cumple para cualquier conjunto de elementos, lo que aplicado a los naturales, diríamos que se cumple para cualquier serie de números, incluida la serie infinita. Así, afirmamos de forma explícita la infinitud del conjunto.

Conclusión

Peano no dispuso de un método deductivo expreso sobre el que trabajar estos axiomas, lo que nos lleva a afirmar que no tenía en mente un proyecto tan ambicioso como para fundamentar la Aritmética. Aun así, su influencia entre los logicistas posteriores, como Russell o Whitehead, fue muy importante. Estos desarrollos, así como la Teoría de Conjuntos de Cantor, que competía con el logicismo por dotar a la matemática de una fundamentación rigurosa, será el tema de nuestra serie dedicada a la Metamatemática.

Lecturas recomendadas

 – Kolmogórov, A.N. y Dragalin, A.G. (2013) Introducción a la lógica matemática.

 – de Swart, H. (2018) Philosophical and Mathematical Logic.

 – Lombraña; J. V. (1989) Historia de la Lógica.

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