Los Axiomas de Zermelo-Fraenkel

La Teoría de Conjuntos comenzaba a perfilarse como un pilar fundamental dentro de la matemática. Sin embargo, no eran pocos los que consideraban que debía antes alcanzar un nivel de rigurosidad suficiente. Una justificación detallada precisa de una definición clara y explícita de los fundamentos de la teoría: una axiomatización. Es aquí donde entran los Axiomas de Zermelo-Fraenkel.

David Baños Abril

Axiomatización

El método clásico de axiomatización busca enunciar los principios, simples e intuitivos, a partir de los cuales sustentar una teoría. Se presentan como definiciones implícitas que no requieren una gran precisión pues son fácilmente comprensibles. Entorno a estos principios no debería existir duda alguna. Su demostración no es necesaria, sino que se presuponen como dados.

La nueva matemática de finales del siglo XIX entiende de una forma distinta la idea de axioma. Los axiomas no tienen porqué encarnar principios intuitivos del pensamiento humano. Los axiomas se ceñirán a disponer una suerte de estructura simbólica definida sin ambigüedad. Su contenido semántico, es decir, los objetos a los que haga referencia tal estructura, será algo accidental, dependiente de su contextualización. Hablaremos más sobre esta nueva axiomatización en los próximos artículos.

La axiomatización de conjuntos

Si recordamos artículos anteriores, Cantor pretendía nada menos que construir el concepto de número natural y las operaciones aritméticas básicas a partir de los conjuntos y las nociones de ordinalidad y cardinalidad. Teniendo en cuenta que, para muchos matemáticos, la Aritmética es la madre de las matemáticas, presentar los conjuntos como el fundamento de la Aritmética era poco menos que sustentar sobre ellos a toda la matemática. Es por ello que se hacía acuciante una reforma de la Teoría de Conjuntos hasta sus cimientos. Tal era el objetivo buscado por Zermelo.

 -La Teoría de Conjuntos es aquella rama de la matemática cuya tarea es investigar matemáticamente las nociones fundamentales de ‘número’, ‘orden’ y ‘función’, tomándolas en su forma simple y prístina, y desarrollar así los fundamentos lógicos de toda Aritmética y Análisis; por lo tanto constituye un componente indispensable de la ciencia de las matemáticas.- 

Ernst Zermelo. Untersuchungen über die Grundalgen der Mengenlehre. I. 1908.

Axiomas de Zermelo

En 1908 Fraenkel presenta su lista de axiomas, lo que más tarde será conocida como Teoría Axiomática de Zermelo.

Dominio de objetos

Los axiomas presuponen un universo o dominio. No cabe en este dominio afirmar otra cosa que está formado por objetos indeterminados. Ni siquiera podemos llamarlo «conjunto» pues son estos los objetos que el pretendemos acotar con los axiomas. El dominio es el campo sobre el que se despliegan los axiomas. Los objetos del dominio que cumplan las restricciones impuestas por la estructura axiomática será lo que llamaremos «conjuntos». Si los axiomas se contradijesen entre ellos, ningún objeto caería bajo esta estructura. Convendrá tener en cuenta esta diferencia entre los axiomas como meras expresiones y los objetos que pretenden acotar pues será revisada en los próximos artículos.

Para esta exposición de los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, los «elementos puros» y los elementos que son a su vez conjuntos tendrán un tratamiento equivalente. Ambos son objetos compatibles en los axiomas.

Axioma de Extensionalidad

El primero de los axiomas de Zermelo o Axioma de Extensionalidad afirma que dos conjuntos con los mismos elementos son dos conjuntos iguales.

Lo destacable de este axioma es que supone el distanciamiento definitivo frente a las corrientes logicistas de Russell y Frege y el rechazo del Principio de Comprehensión. Los conjuntos NO se definen por una propiedad, sino por los elementos que los forman. Si dos conjuntos son iguales no es porque designen una misma propiedad, sino porque tienen los mismos elementos. Esta distinción puede parecer pueril pero rechazar el Principio de Comprehensión supone esquivar las paradojas propias de los sistemas lógicos, que aceptan predicados arriesgados como es la no pertenencia a sí mismo de la Paradoja de Russell.

Axioma de conjuntos elementales

Todo conjunto A se define como tal en virtud de que se cumpla la condición x∈A, siendo x un elemento cualquiera del universo. Sin embargo, el segundo axioma establece la existencia de un conjunto al que ningún elemento pertenece a el: el conjunto vacío.

Normalmente denotamos el conjunto vacío con el símbolo .

Este axioma de conjuntos primordiales se completa con dos asertos más: «todo objeto x del universo forma un conjunto \left \{ x \right \}» y «dos objetos cualesquiera x e y forman el conjunto \left \{ x,y \right \}«.

Este axioma es el primero en afirmar la existencia de objetos matemáticos conocidos como conjuntos, pues el Axioma de Extensionalidad refiere exclusivamente a una equivalencia. Cada conjunto formado (como el \left \{ a \right \} de la imagen) puede ser elemento de un nuevo conjunto, por lo que vemos fácilmente que este axioma conlleva la existencia de infinitos conjuntos.

Axioma de Separación

Para Zermelo, un aserto o proposición está bien definida si es expresable en términos de si una relación de tipo («existe en») entre objetos, subsiste o no en el dominio. Estas relaciones están a su vez impuestas por la estructura axiomática y las reglas fundamentales de la lógica.

El Axioma de Selección afirma que una proposición bien definida aplicada sobre un conjunto A resulta en un nuevo conjunto A_{p}, subconjunto de A.

El lector puede comprobar la aparente similitud entre este axioma y el Principio de Comprehensión al permitir la formación de grupos en base a un concepto. Pero Zermelo impuso la restricción de que es posible alzar un nuevo conjunto haciendo uso de un concepto solo si se aplica sobre un conjunto ya dado. Esta restricción permitirle al sistema de Zermelo escapar de la paradoja russelliana. El debate acerca de lo que está bien definido o no en matemáticas será uno de las mayores controversias nacidas de los Axiomas de Zermelo y será el punto de partida del artículo venidero. 

Axioma del Conjunto Potencia

Todo conjunto A supone un conjunto ℘A, el conjunto potencia, formado exclusivamente por todos los subconjuntos A_{n} de A.

El lector que haya seguido esta serie de artículos reconocerá rápidamente la importancia de este axioma de cara a proyectar la Teoría de Conjuntos sobre los dominios numéricos.

Axioma del Conjunto Unión

Dado un conjunto A formado por conjuntos A_{n}, existirá el conjunto unión ∪A formado por los elementos de todos los conjuntos A_{n}.

Axioma de Elección

El Axioma de Elección establece que dado un conjunto A de conjuntos disyuntos A_{d}, el conjunto unión ∪A incluye subconjuntos ∪A^{k} formados única y exclusivamente por un elemento de A_{d}, para todo elemento de cada A_{d}. En otras palabras, algunos subconjuntos de ∪A son selecciones de elementos individuales pertenecientes a los conjuntos A_{d} que forman A.

Es posible que el lector constate que, a la luz del resto de axiomas, el Axioma de Elección se torne más evidente. En pocas palabras afirma este simplemente afirma la existencia de subconjuntos del conjunto unión ∪A. Este fue precisamente el objetivo que perseguía Zermelo con sus axiomas: justificar su Teorema del Buen Orden despejando las dudas acerca del Axioma de Elección. 

Axioma del Infinito

Existe un conjunto formado por el conjunto vacío además de que, para cada uno de sus elementos x, es también un elemento suyo el conjunto x∪\left \{ x \right \}.

El conjunto I es pues un conjunto de infinitos elementos. Si lo combinamos con el Axioma del Conjunto Potencia resulta en un conjunto de cardinalidad transfinita ℵ_{1}.

El Axioma de Reemplazo

Unos años después de la publicación de los axiomas, dos matemáticos del momento, de forma independiente, descubrieron que los axiomas de Fermelo no eran suficientes para expresar los teoremas que hasta el momento había acumulado la Teoría de Conjuntos. Estos dos matemáticos eran Fraenkel y Skolem, el primero alemán al igual que Zermelo y el segundo noruego.

Conjunto de conjuntos potencia

Hemos comentado que la combinación del Axioma del Infinito y el Axioma del Conjunto Potencia resultan en la primera de las infinitudes transfinitas de Cantor (ℵ_{1} suponiendo como cierta la Hipótesis de Continuo). El Axioma del Conjunto Potencia puede aplicarse reiteradamente resultado en nuevas magnitudes transfinitas. ¿Qué ocurre con el conjunto de todos estos conjuntos de cardinalidad transfinita? Los axiomas de Zermelo no permiten expresar tal conjunto. 

Supongamos el conjunto infinito Z resultado del Axioma del Infinito. Dada su correspondencia con los números naturales, diremos que Z es de la forma

Z = \left \{ z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3} \cdots z_{ω} \right \}

Fraenkel advirtió que una función que vinculara cada elemento z_{n} con el resultado de aplicar al conjunto infinito el Axioma del Conjunto Potencia n veces

Z, ℘Z, ℘(℘Z), ℘(℘(℘Z)) \cdots ℘^{ω}Z

el rango de tal función sería el conjunto de todas las cardinalidades transfinitas que buscábamos:

\left \{ Z, ℘Z, ℘(℘Z), ℘(℘(℘Z)) \cdots ℘^{ω}Z\right \}

Su conjunto unión será, además, un conjunto de cardinalidad ℵ_{ω}.

Axioma de Reemplazo

Esta operación operación requiere simplemente sustituir cada elemento z_{n} del conjunto Z por ℘^{n}Z. Es por eso que tanto Fraenkel como Skolem invocaron la necesidad de incluir un octavo axioma: el Axioma de Reemplazo.

El Axioma de Reemplazo afirma que sustituir cada elemento de un conjunto resulta en un nuevo conjunto. También, de forma equivalente, el rango de una función sobre un conjunto es también un conjunto.

Por el Axioma de Reemplazo, los elementos f(x) aplicados sobre un conjunto forman también un conjunto.

Los ordinales de Von Neumann

Von Neumann, uno de los más fecundos matemáticos de todo el siglo XX, realizó también aportaciones a la Teoría de Conjuntos. Apuntaremos brevemente su mayor contribución. Neumann retomó el concepto de ordinal, fundamental en los primeros conjuntos cantorianos, y los definió haciendo uso del Axioma de Reemplazo. Denominó enumeración (término ya empleado por Cantor) a una función sobre los elementos a de conjunto A  tal que

f(a) = \left \{f(u)\right \}

siendo u todo elemento anterior a a en A. Tal función presupone evidentemente el buen orden de los conjuntos. Podemos comprobar que se trata de una función recursiva -se invoca a sí misma- que asocia cada elemento a con el conjuntos de sus predecesores.

f(0) = ∅
f(1) = \left \{∅\right \}
f(2) = \left \{∅,\left \{∅\right \}\right \}

La necesidad del Axioma de Elección es clara: permite que los elementos de la función sobre a formen todos un conjunto.

Conclusión

En la actualidad se conoce como Axiomas de Zermelo-Fraenkel o Axiomas ZF a los axiomas propuestos por Zermelo prescindiendo del Axioma de Elección, y contando con el Axioma de Reemplazo. Las razones por las que apartar el Axioma de Elección se deben a la demostración ofrecida por Fraenkel sobre su independencia: los posibles conjuntos que ofrece ZF son los mismos con o sin el Axioma de Elección. Tal demostración queda fuera de los objetivos de este artículo. Al sistema que incluye los axiomas de Zermelo-Fraenkel incluyendo el Axioma de Elección suelen denotarse como ZFC (de «choise»).

Los Axiomas de Zermelo-Fraenkel fueron repetidamente discutidos y modificados. En 1930 Zermelo publica una revisión de sus axiomas. Esta última versión es la que usualmente puede verse en los manuales de Teoría de Conjuntos. Para los objetivos de esta serie será suficiente con la versión de 1908, pero recomendamos al lector interesado continuar la exploración de la Teoría de Conjuntos por esas vías.

Lecturas Recomendadas

– Torretti, R. (1998) El paraíso de Cantor: La tradición conjuntista en la filosofía matemática.

– Ferreiros, J. (1999) Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics.

El Programa de Hilbert

El Programa de Hilbert fue la respuesta ofrecida por el alemán David Hilbert al debate acerca de los fundamentos de la Matemática.

El logicismo y la lógica moderna

El logicismo asume que la lógica es una disciplina general que acoge a las matemáticas como una rama subordinada.

Brouwer y la crítica intuicionista

Brouwer dio inicio a una nueva perspectiva matemática conocida como Intuicionismo, destinada a replantear sus más elementales fundamentos.

Paradojas y la Teoría de Tipos

La Teoría de Tipos fue la respuesta ofrecida por Russell a los retos que supusieron las paradojas para el desarrollo de la lógica moderna.

La aritmética de Frege

La revisión realizada por Frege de la aritmética y el concepto de número supone el primero de los logros de la doctrina logicista.

El Axioma de Elección

El Axioma de Elección fue necesario para salvaguardar la Teoría de Conjuntos cantoriana muy a pesar de la polémica que suscitó.

La Paradoja de Russell

La Paradoja de Russell amenazó a gran parte de los proyectos llevados a cabo en el siglo XIX por fundamentar la matemática de forma rigurosa.

Paradojas del Infinito

El infinito matemático ha dado lugar a paradojas y resultados insólitos que han desconcertado a los matemáticos desde hace miles de años.

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El continuo matemático había esquivado toda definición precisa durante siglos resultando en constantes paradojas; hasta que llegó Cantor…

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