Los números transfinitos

La empresa de Cantor no termina con los ordinales. Cantor descubrió que existía toda una jerarquía de infinitos, unos más grandes que otros. Los denominó números transfinitos y les denotó con la letra hebrea álef. Cantor reafirmaba así el vínculo entre sus investigaciones matemáticas y la experiencia de cercanía con lo divino.

David Baños Abril

Números transfinitos

Repasemos lo visto en el artículo previo. Cantor distinguió números ordinales y cardinales. Esta diferencia solo salta a la vista en el caso de conjuntos infinitos como el de los números naturales, con los que podemos construir infinitas sucesiones que sean infinitas. Sin embargo, esto no altera la cantidad de elementos o potencia de dicho conjunto. ¿Existen infinitos mayores en cantidad, es decir, con potencia superior a los números naturales? En este artículo mostraremos que sí.

Números cardinales

Como se ha visto previamente, llamamos potencia a una propiedad que surge de establecer emparejamientos entre elementos de dos grupos sin importar cómo estén ordenados sus elementos. Si todos los elementos consiguen emparejarse se establece lo que se conoce como biyección. 

Tipos de relación entre dos conjunto, un dominio y un codominio

Intuitivamente la potencia no es otra cosa que la cantidad de elementos de un conjunto, y por ello, que sea posible una biyección entre conjuntos (que sean equipotentes) implica que ambos tengan la misma cantidad de elementos. No siempre será posible establecer biyecciones, lo que corresponde con conjuntos de potencias diferentes. Es fácil comprobar la equivalencia entre potencia y número cardinal; números que cuantifican conjuntos.

Operaciones aritméticas con cardinales

En virtud de su tratamiento en calidad de «números», Cantor definió las operaciones aritméticas aplicables a estos cardinales. Tales definiciones se encuentran, como no, en términos de conjuntos y sus elementos. Para un determinado conjunto A, denotaremos su cardinal con [A].

Estos cardinales pueden sumarse o multiplicarse, pero para los objetivos de este artículo será de especial interés la operación de exponenciación. Dado dos conjuntos A y B, Cantor definió la operación [B]^{[A]} como el número de posibles aplicaciones de A sobre B. Veámoslo con un ejemplo de conjuntos finitos. Dados dos conjuntos:

A = \left \{ α, β \right \}, con cardinal [A] = 2

B = \left \{ a, b, c \right \}, con cardinal [B] = 3

[B]^{[A]} = 9, dado que existen nueve posibles aplicaciones de A en B, que serán:

\begin{matrix} α \Rightarrow a \\ β \Rightarrow a \end{matrix}
\begin{matrix} α \Rightarrow b \\ β \Rightarrow b \end{matrix}
\begin{matrix} α \Rightarrow c \\ β \Rightarrow c \end{matrix}
\begin{matrix} α \Rightarrow a \\ β \Rightarrow b \end{matrix}
\begin{matrix} α \Rightarrow b \\ β \Rightarrow a \end{matrix}
\begin{matrix} α \Rightarrow a \\ β \Rightarrow c \end{matrix}
\begin{matrix} α \Rightarrow c \\ β \Rightarrow a \end{matrix}
\begin{matrix} α \Rightarrow b \\ β \Rightarrow c \end{matrix}
\begin{matrix} α \Rightarrow c \\ β \Rightarrow b \end{matrix}

Podemos comprobar como esta operación corresponde a la noción familiar de exponenciación.

El Teorema de Cantor

El Teorema de Cantor es una pieza fundamental en toda la Teoría conjuntista. Es la tesis que abre la puerta a los diferentes infinitos que caracterizan a la obra de Cantor, los números transfinitos.

Conjunto potencia

Nos es familiar la aseveración de que, dado unos objetos, el número de posibles combinaciones con ellos es mayor que el de los propios objetos. Así, dado el conjunto A = \left \{ a, b, c \right \} podemos formar los subconjuntos \left \{ a\right \}, \left \{ b\right \}, \left \{ c\right \}, \left \{ a, b\right \}, \left \{ a, c\right \}, \left \{ b, c\right \}, \left \{ a, b, c\right \} y \left \{ ∅ \right \} que forman todos un mismo conjunto (se incluye el conjunto total y el conjunto vacío). A este conjunto de subconjuntos lo denominamos conjunto potencia o ℘A.

℘A =
\left \{ ∅ \right \}
\left \{ a \right \}
\left \{ b \right \}
\left \{ c \right \}
\left \{ a, b \right \}
\left \{ a, c \right \}
\left \{ b, c \right \}
\left \{ a, b, c \right \}

Vemos que el primer conjunto tiene una cardinalidad de [A] = 3, mientras que el segundo es de [℘A] = 8. El Teorema de Cantor establece que el número de elementos del conjunto potencia es mayor que el del conjunto en sí, tal y como nos muestra ese ejemplo.

[A] < [℘A]

Lo interesante de este resultado es que es generalizable a conjuntos infinitos. Dado un conjunto equipotente a los infinitos números naturales, su conjunto potencia será evidentemente infinito, pero un infinito mayor. Lo demostraremos ahora.

Subconjuntos y cadenas binarias

Antes de introducir la demostración, estableceremos la equivalencia entre el conjunto potencia y la exponenciación. Dado dos conjuntos finitos, un conjunto de cardinal 2, como puede ser por ejemplo el conjunto binario B = \left \{ 0,1 \right \} y el conjunto A = \left \{ α, β, \gamma \right \} , demostraremos que el cardinal del conjunto  potencia de A es igual a [B]^{[A]}, o lo que es lo mismo,  2^{[A]}. Como vimos antes, [B]^{[A]} es igual al número de aplicaciones de A en B, es decir, ocho aplicaciones.

\begin{matrix} \alpha \Rightarrow 0 \\ \beta \Rightarrow 0 \\ \gamma \Rightarrow 0 \end{matrix}
\begin{matrix} \alpha \Rightarrow 1 \\ \beta \Rightarrow 0 \\ \gamma \Rightarrow 0 \end{matrix}
\begin{matrix} \alpha \Rightarrow 0 \\ \beta \Rightarrow 1 \\ \gamma \Rightarrow 0 \end{matrix}
\begin{matrix} \alpha \Rightarrow 1 \\ \beta \Rightarrow 1 \\ \gamma \Rightarrow 0 \end{matrix}
\begin{matrix} \alpha \Rightarrow 0 \\ \beta \Rightarrow 0 \\ \gamma \Rightarrow 1 \end{matrix}
\begin{matrix} \alpha \Rightarrow 1 \\ \beta \Rightarrow 0 \\ \gamma \Rightarrow 1 \end{matrix}
\begin{matrix} \alpha \Rightarrow 0 \\ \beta \Rightarrow 1 \\ \gamma \Rightarrow 1 \end{matrix}
\begin{matrix} \alpha \Rightarrow 1 \\ \beta \Rightarrow 1 \\ \gamma \Rightarrow 1 \end{matrix}

Cada una de ellas corresponde a una cadena de 1s y 0s:

000
100
010
110
001
101
011
111

Que a su vez, son equivalentes a los subconjuntos del conjunto A, si tomamos el 0 como ausencia del elemento y 1 como presencia:

\left \{ ∅ \right \}
\left \{ α \right \}
\left \{ β \right \}
\left \{ α, β \right \}
\left \{ γ \right \}
\left \{ α, γ \right \}
\left \{ β, γ \right \}
\left \{ α, β, γ \right \}

Subconjuntos infinitos

Con esto queda demostrado que el cardinal del conjunto potencia [℘A] es igual a dos elevado al cardinal del conjunto A.

[℘A] = 2^{[A]}

Esta equivalencia es igualmente válida para conjunto infinitos, como puede ser, los números naturales \mathbb{N} = \left \{ 1, 2, 3, 4 \cdots \right \}. La potencia de los números naturales le daremos la notación vista en el artículo previo: [ω].

[℘ω] = 2^{[ω]}

La diferencia será en que ahora la aplicación resultará en todas las posibles cadenas de infinitos 0s y 1s. Evidentemente el número de cadenas será infinito, pero lo que demostraremos ahora según el Teorema de Cantor es que este infinito es mayor que  [ω].

Diagonal de Cantor

Cantor obtuvo fama imperecedera por su demostración por diagonalización. Aunque debe decirse que no fue pionero en su uso y que solo recurrió a ella en sus obras más tardías, es la llave a través de la que muchos conocen las obras de Cantor, hasta el punto de conocerse como Diagonal de Cantor. Y es que pocas veces en la historia de la matemática una demostración tan simple ha resultado tan significativa.

Como muchas otras demostraciones, estará basada en el método de reducción al absurdo: hipotetizaremos que el cardinal de un conjunto equipotente a los números naturales y el cardinal de su conjunto potencia son iguales, y tal presupuesto nos arrastrará a una contradicción que invalidará la premisa inicial.

Matriz infinita

La idea es sencilla. Si tuviesen el mismo cardinal, por la propia definición, sería posible establecer una biyección entre ambos conjuntos, emparejando sus elementos sin que ningún quedase aislado. Hemos establecido antes que los subconjuntos de ω son equivalentes a cadenas infinitas de 0s y 1s. Asociemos pues cada cadena infinita con un número natural, que llamaremos índice. Si tal biyección fuera pudiese darse, todas las cadenas posibles se encontrarían en una matriz como la de la imagen, indexadas por un entero natural. 

El punto reside en que, para cualquier matriz que se haga, podemos generar una cadena que no este contenido en ella. Para hallarla solo es necesario generar una nueva cadena cuyo primer dígito sea 1 si el primer dígito de la primera cadena es 0 o a la inversa. El segundo dígito será también 1 o 0 si el segundo dígito de la segunda cadena es 0 o 1 respectivamente. Y así sucesivamente, moviéndose en diagonal a través de la matriz infinita.

Dado que la nueva cadena se diferencia en al menos una cifra de todos los números que aparecen en la lista, dicha cadena no puede encontrarse en esta lista, por infinita que sea. Para cada ordenación de la matriz, la «nueva cadena» será diferente, pero siempre existirá una. Por ello concluimos que los números naturales no acotan al número de subconjuntos de un conjunto de potencia [ω]. Siempre existirá un subconjunto desparejado, fuera de la indexación.

De esta manera, concluimos que el Teorema de Cantor para el infinito de los números naturales podría resumirse así:

[℘ω] > [ω]

Los álef

Por medio del conjunto potencia y de la exponenciación de los cardinales hemos generado un nuevo tipo de cardinal infinito. Con ello afirmamos nada más y nada menos la existencia de dos infinitos diferentes, uno mayor que otro.

Estos diferentes infinitos, Cantor los denominó números transfinitos. En las últimas obras de Cantor, establece el símbolo para denotar estos cardinales transfinitos, la letra álef del alfabeto hebreo. Cantor era un hombre de profundas convicciones religiosas. Cristiano, pero de orígenes judíos, eligió esta letra por ser la primera del término אין סוף, «ein soph», «lo inabarcable», el principio divino preexistente que da origen al mundo en la mística cabalística. La misma idea de infinito, que precisamente se define por nuestra incapacidad de acotarlo, encaja perfectamente con esta referencia a la Cábala.

Así, el infinito de los números naturales, que en el artículo previo denotamos como [ω], lo llamaremos ahora ℵ_{0} o «alef sub cero», el más pequeño de los números transfinitos.

infinitos álef

En el artículo previo vimos que un conjunto de una misma potencia, la potencia de los números naturales o ℵ_{0}, acogía infinitos tipos de orden u ordinales. Por veces que sumásemos o multiplicásemos ordinales, el conjunto generado no tenía una cardinalidad mayor a ℵ_{0}. Sin embargo, la nueva potencia, que llamaremos provisionalmente ℵ_{1}, es estrictamente mayor.

Pero no acaba aquí la cuestión. Y es que, al igual que surgían los ordinales transfinitos a partir de ℵ_{0}, la nueva potencia ℵ_{1} da lugar a una nueva tanda de ordinales transfinitos. El ordinal ω_{1} sería el tipo de orden que enumera a ℵ_{1}. Dado que el Teorema de Cantor es aplicable a cualquier conjunto infinito, sabemos que 2^{ℵ_{1}} > ℵ_{1} , lo que resultaría en un nuevo cardinal, todavía mayor que ℵ_{1}, con sus propios ordinales transfinitos. Es evidente que podríamos repetir la operación una y otra vez, resultando en una jerarquía infinita de infinitos, anidados unos dentro de otros.

Conclusión

Puede resultar al lector que toda la teoría transfinita de Cantor tiene algo de trabajo ilusorio. Los objetos matemáticos como los números transfinitos parecen sacados de la chistera, nacidos de la prestidigitación matemática. Esta «terrible dinastía de infinitos», como los denominó Borges, se encuentra demasiado alejada de nuestra experiencia y comprensión como para tenerla en cuenta, ni siquiera para alcanzar una consideración ontológica equivalente a la de los números naturales. Su existencia no resulta tan evidente e intuitiva.

Si el lector se encuentra en esta situación, sepa que muchos matemáticos del tiempo de Cantor pensaban de la misma manera. Cantor trabajó muy duro para que sus investigaciones fueran apreciadas por las grandes figuras matemáticas de la Alemania de 1890. Pero como apuntó en su día el contemporáneo Max Plank, la ciencia avanza de funeral en funeral. Bastó con que la vieja generación diese paso a una nueva para que los números transfinitos de Cantor germinasen y dieran lugar a todo un nuevo debate en la comunidad matemática. De hecho, y como pretendemos mostrar en estos artículos, su influencia posterior ha sido enorme.

Nuestro próximo artículo lo dedicaremos a asentar los números transfinitos en aspectos de la matemática más «cercanos»: la naturaleza de los números reales y el continuo. 

Lecturas recomendadas

– Torretti, R. (1998) El paraíso de Cantor: La tradición conjuntista en la filosofía matemática.

– Ferreiros, J. (1999) Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics.

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