El método matemático en la Filosofía

David Baños Abril

Matemática y filosofía se combinaron para generar una método formal de deducción de verdades universales en los albores de la Edad Moderna. La formalidad y precisión de la matemática la convirtió en la reina de las ciencias, solo por detrás de la teología. No es de extrañar que siempre que se ha querido fundamentar un saber, se haya buscado inspiración en la matemática.

Ciencia y Matématica

Uno de las grandes proezas de la ciencia en sus inicios fue distinguir entre aquello que es relevante y elemental de lo que es accidental o circunstancial. Solo así pueden surgir leyes físicas generalizables a diversos fenómenos físicos. En la Antigüedad, Aristóteles había sostenido que los cuerpos caen con mayor velocidad cuanto mayor es su peso, algo en lo que es fácil caer si nos dejamos llevar por las apariencias. Tuvo que llegar Galileo para dejar claro que, efectivamente, aquello eran solo apariencias. Oculta tras lo que parecía evidente, debía existir una ley matemática aplicable a todos los objetos independientemente de su peso o forma. Galileo descubrió que, ciertamente, si prescindimos del rozamiento con el aire, una pluma y una bola de cañón caen a la misma velocidad.
Ilustración del Mysterium Cosmographicum de Johannes Kepler representando el Sistema Solar. Para Kepler, el orden planetario reflejaba la pureza y regularidad de los sólidos platónicos.

Así, a lo largo del siglo XVII y XVIII siguió avanzando la física moderna, descubriendo las leyes matemáticas escondidas tras los más variados fenómenos. A media que el avance progresaba, estos fenómenos se conectaban entre sí, pues respondían a mismas leyes físicas. No es nada intuitivo que la fuerza que hace caer una manzana del árbol, sea la misma que hace desplazar a los planetas por el cielo nocturno. Muchos empezaron a pensar que el orden cósmico se reducía a un pequeño número de fórmulas, descritas en lenguaje matemático. Todo el universo se encontraba conectado por principios elementales. El mismo Dios lo había así dispuesto desde la Creación.

Verdad Matemática

Era sabido desde la Antigüedad la potencia de la matemática a la hora de ofrecer un tipo de conocimiento universal, libre de toda influencia subjetiva. Gracias al método experimental desarrollado en el siglo XVII (del que carecían los griegos), pudo trasladarse esa objetividad al mundo físico de los fenómenos naturales. Parámetros como el peso de un objeto y la distancia recorrida, no solo eran cuantificables. También existían entre ellos relaciones aritméticas medibles. Las matemáticas pues, ya no solo serían conceptos abstractos e ideales. El Universo físico y tangible también se desplegaba atendiendo a ese orden aritmético.

-La filosofía está escrita en ese grandísimo libro que tenemos abierto ante los ojos, es decir, el universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender el lenguaje, a conocer los caracteres en lo que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas.- 

Galileo Galilei. Il Saggiatore.

Viendo lo fructífero de este principio, no tardó en aplicarse a otras disciplinas, por ejemplo, a las ciencias del espíritu… ¿Podemos reorganizar el conocimiento humano en base a principios matemáticos? A la hora de llevar el ideal matemático al campo del pensamiento nos encontramos con evidentes problemas. Para empezar, el método experimental, que presupone unos parámetros cuantitativos medibles, resulta impracticable ante conceptos como el de la consciencia, ya no digamos en campos como la política o la ética. No podemos medir la justicia ni la razón.

La demostración racional

Estos inconvenientes no desanimaron a los pensadores de la época. En su búsqueda de certezas universales, los intelectuales del siglo XVII se sintieron fuertemente inspirados por el ideal matemático.

-Quienes buscan el camino hacia la verdad no deberían ocuparse de ningún objeto del que no estén en condiciones de alcanzar una certeza equiparable a la de las demostraciones aritméticas y geométricas.- 

René Descartes. El discurso del método.

Si no podría tratarse con medidas cuantitativas, al menos se aseguraron de desarrollar conceptos lógicos ideales. Si estos conceptos podían ser descritos de forma clara y unívoca así como las reglas de combinación entre ellos, entonces podría aplicárseles el método matemático.

El conocimiento humano estaría compuesto de una serie de verdades independientes, pero encadenadas entre ellas, como las demostraciones matemáticas. A partir de una o varias de estas certezas, y siguiendo un método ordenado de deducción, las demás verdaderas aparecerían sin atisbo alguna de duda.

La combinación entre matemática y filosofía inspiró una corriente en el pensamiento de importancia capital en la historia de las ciencias y la filosofía. Por ejemplo, Spinoza pretendió fundamentar la ética (es decir, como debe comportarse el ser humano) en un «orden geométrico», de forma que todas las afirmaciones estuviesen debidamente demostradas.

El método deductivo

Es necesario desarrollar un poco eso que hemos llamado «método matemático». Realmente no es más que el método de Euclides quien, hace más de 2000 años, construyó todo un sistema matemático utilizando este procedimiento. Euclides buscaba descubrir enunciados geométricos de los que estuviese seguro que fueran verdaderos. Para ello comenzó con un pequeño conjunto de nociones que resultaran evidentes al pensamiento humano. Eran los llamados axiomas, los cimientos de toda teoría formal. En los Elementos, los axiomas son los famosos cinco postulados de Euclides (no es lo mismo postulado que axioma, pero por ahora, haremos que sean equivalentes).

A partir de estos axiomas, y a través de reglas de inferencia claramente explicitadas se llegaba a enunciados verdaderos.  Para demostrar estos enunciados, solo era necesario invertir el proceso y volver a los axiomas desde donde se partió. Estos enunciados que pueden demostrarse se llaman teoremas. Con estos tres ingredientes, axiomas, reglas de inferencia y teoremas, tenemos un sistema formal (la geometría euclídea en el caso de los Elementos).

Si un determinado sistema formal fuera un árbol, las raíces serían los axiomas, mientras que los teoremas serían las ramas. Si nos topásemos con una rama de la que desconocemos si forma parte o no del árbol (si es o no un teorema del sistema formal) deberíamos comprobar, una por una, las ramas de las que nace, así hasta alcanzar las raíces.

Matemática y Filosofía

Los filósofos de la Edad Moderna se maravillaron con razón del método euclídeo. A partir de reglas tan sencillas, Euclides pudo deducir teoremas geométricos que no son para nada evidentes atendiendo a los axiomas de los que parten. El hecho de que esas verdades sigan siendo válidas a día de hoy nos habla del portentoso método desarrollado por el matemático griego.

Euclides había demostrado que la verdad matemática podía ser sintetizada en principios más básicos. No solo eso, sino que la verdad no necesitaba ya ser revelada o inspirada en la mente por fuerzas sobrenaturales. La verdad nacía de una operación mecánica, aplicando unas reglas definidas objetivamente a través de una serie de pasos explícitos.

Para la filosofía racionalista, nuestra mente es capaz de generar sus propios axiomas: verdades que resulten evidentes al pensamiento humano. Así, en la búsqueda de verdades objetivas y universales el método deductivo aplicado en los Elementos inspiró a los filósofos racionalistas, que lo generalizaron a problemas metafísicos más allá de la geometría euclídea.

El famoso cogito ergo sum de Descartes le sirvió para fundamentar la propia existencia del ser pensante y a partir de ahí, deducir lógicamente un conjunto de enunciados de los que no cupiese duda alguna. Estos enunciados estarían todos fundamentados entre sí, formando un sistema consistente y completo.

En un intento de explicar cómo el alma inmaterial era capaz de manipular el cuerpo físico, Descartes propuso a la glándula pineal, en lo profundo del cerebro, como órgano encargado de establecer esa conexión.

El lugar de la Matemática

Concluimos por tanto que tanto a las ciencias naturales como las ciencias del espíritu fueron cautivadas por la matemática. Las primeras recurriendo a la descripción aritmética del mundo, las segundas al método deductivo. Así la matemática adquiría una posición privilegiada al servir de nexo de unión entre la mente y la materia. Las posiciones dualistas como la de Descartes, que establecen una frontera infranqueable entre consciencia y materia, fueron criticadas precisamente por esto, por ser incapaces de explicar como es que el mundo exterior se desplegaba ante nosotros recurriendo a una forma de lenguaje que es producto de la reflexión interna.

Podríamos pensar, acercándonos a posturas empiristas, que las matemáticas «están» en el mundo y accedemos a ellas a través de los sentidos. Sin embargo, que el pensamiento matemático sea producto de simples asociaciones de fenómenos sensitivos no parece muy convincente. Los conceptos numéricos y lógicos no pueden deducirse de simples impresiones visuales ni auditivas. Nadie nunca ha visto, tocado ni escuchado al número diecisiete ni la raíz de dos.

El lugar de la Consciencia

Llevado por el espíritu de la certeza universal y el método matemático, los filósofos del siglo XVII y XVIII estaban más interesados en un ética del pensamiento que en el pensamiento mismo. Buscando formas de alcanzar la verdad, pocos se preguntaron la razón por la que nuestros pensamientos yerran. Los empiristas, mucho más afines a valorar el papel de la percepción, avanzaron posiciones en la distinción entre una ética del pensamiento y una descripción del mismo.

La el método deductivo pues, nos ha resultado muy útil para ofrecer un criterio de verdad a los enunciados alcanzados por el acto de pensamiento. Pero a pesar de su formalismo, el estudio del correcto pensamiento, al que llamaremos lógica, no había conseguido aún distanciarse del todo de fenómenos psíquicos oscuros y no del todo comprendidos. Por ejemplo, la impresión de veracidad de los axiomas dio para largas discusiones. No todo el mundo estaba conforme en que su veracidad era «evidente». Pero aunque lo fuera…¿De dónde provenía esa convicción? ¿Era esta certeza suficiente para sustentar un sistema matemático formal?

Lecturas Recomendadas

 – Wootton, D. (2017) La invención de la ciencia.

 –  Descartes, R. (1637) Discurso del método

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