Metalógica de Proposiciones

David Baños Abril

En cualquier rama de la matemática que sea formalizable en un sistema, habrá que distinguir entre los conocimientos que nos aporta el sistema en forma de teoremas, del conocimiento que podemos nosotros inferir del sistema como un todo. Esto recibe el nombre de metalógica.

Una visión desde fuera

Los sistemas formales cuentan con un conjunto de propiedades que solo pueden ser concebidas «desde fuera» del sistema. La metalógica se encarga de estudiar estas propiedades. «Desde dentro» el sistema es incapaz de deducir como teoremas sus propios rasgos generales. Como va siendo usual, usaremos una cita cinéfila para ilustrar el concepto de metalógica. Pongamos como ejemplo estas:

«La luz que brilla con el doble de intensidad dura la mitad de tiempo, y tu has brillado mucho, Roy»

“Es toda una experiencia vivir con miedo, eso es lo que significa ser esclavo.”

«Todos esos momentos se perderán en el tiempo, como lágrimas en la lluvia.»

Estas citas tienen un contenido significativo, filosófico si se quiere. Pero, para el amante de la ciencia ficción, estas citas comparten una propiedad. Todas ellas se han extraído de la película Blade Runner. Esta propiedad no es algo evidente a partir de las frases, puesto que en ningún momento hacen referencia a la propia película. De hecho ningún diálogo de ningún personaje de Blade Runner trata sobre la película de Blade Runner. La película no es autorreferente. Es «desde fuera» del film donde podemos ver que esas frases pertenecen a un universo propio de ciencia ficción. Hay sistemas que sí son capaces de hablar de sí mismos. El más evidente es el lenguaje humano, capaz de expresar propiedades del propio lenguaje con sus propios recursos. Esta facultad arrastra consigo la existencia de paradojas que veremos en un futuro.

Meta-matemáticas

En matemáticas siempre es positivo no limitarse por nuestras facultades mentales a la hora de dar forma a nuevos conceptos. La formalización nos permite ir más allá al dotar a la matemática de autonomía: a veces es preferible operar con signos sin adjudicarles una interpretación conceptual.

Durante 2000 años, los postulados de Euclides para la geometría se habían tomado como verdades que reflejaban la realidad tal y cómo era. No tenía sentido cuestionarlos pues encajaban perfectamente con nuestra experiencia intuitiva de cómo se organiza el espacio.

Sin embargo, cuando, a mediados del siglo XIX, se empezó a trabajar con postulados alternativos, los matemáticos se dieron cuenta que los nuevos sistemas geométricos que emanaban de ellos, aun siendo extraños a la experiencia intuitiva, se mostraban consistentes, es decir, carentes de contradicciones. Desde una perspectiva matemática, y  pesar de las dificultades para integrarlas en esa experiencia cotidiana, esto era suficiente para tomar estas geometrías bajo la misma consideración que la geometría euclídea que nos es tan familiar. A partir de ese momento, geometrías alternativas convivirían juntas en un mismo plano de realidad.

Meta-propiedades de las Teorías Matemáticas

La historia de las geometrías no euclídeas nos muestra el potencial de dejar que las matemáticas «hablen por sí mismas». Estas meta-propiedades, como es la consistencia que hemos mencionado, pueden estudiarse en todo sistema formal, y esto incluye el Cálculo Lógico que hemos estado explorando. Este objetivo tiene una importancia fundamental en  la historia de las matemáticas. A finales del siglo XIX y principios de XX, varios de los mayores matemáticos del momento dedicaron sus esfuerzos en sustentar todo el edificio de la matemática sobre la Lógica. Si la Geometría o la Aritmética podían reducirse a la Lógica, sería suficiente con demostrar que ciertas meta-propiedades se cumplían para los sistemas lógicos para generalizarlas al resto de la matemática. Al final de esta serie veremos los intentos de reducir la Aritmética a la Lógica.

Consistencia

La primera meta-propiedad que veremos será la consistencia. Decimos que un sistema es consistente si no es posible deducir fórmulas contradictorias. Da lo mismo la interpretación que tomen las fórmulas, si uno de los teoremas es F, y resulta que ¬F es un también un teorema, entonces el sistema es inconsistente.

Otra definición equivalente establece que un sistema es inconsistente si es capaz de demostrar cualquier fórmula. Esto es así para todo sistema que incorpore la regla de reducción al absurdo, que establece que si existe una contradicción tal que  A \vdash B y A \vdash ¬B, entonces ¬A. Un sistema en el que exista una contradicción como esta no solo tendrá como teoremas B y ¬B, sino también A y ¬A para cualquier fórmula A. Es decir, podría demostrar cualquier fórmula. Así, un sistema consistente, que no contenga ninguna contradicción, no podrá demostrar todas las fórmulas posibles de un lenguaje.

Consistencia del Cálculo Proposicional

El concepto de consistencia es puramente sintáctico. Atañe a la manipulación de símbolos y no es necesario ninguna interpretación que dote de valores de verdad a las fórmulas. Sin embargo, podemos utilizar los valores de verdad para demostrar que el Cálculo Proposicional es consistente. Veamos.

En caso de que fuera inconsistente, serían demostrable tanto A como ¬A. Pero, como vimos en el artículo previo, el Cálculo Lógico es sólido: si es demostrable es verdadero. Esto quiere decir que ambas fórmulas serían verdaderas. Pero esto no puede ser puesto que iría en contra de la definición que hemos establecido de ¬. Por tanto, el Cálculo Proposicional debe ser consistente.

Consistencia y Verdad Matemática

La propiedad de consistencia ha tenido una importancia histórica en el desarrollo de la lógica y de la formalización de amplias ramas de la matemática. A la pregunta de por qué unos axiomas y no otros, la consistencia ha tenido un rol importante.

-Si los axiomas arbitrariamente estipulados, junto con todas sus consecuencias, no se contradicen entre sí, entonces son verdaderos y existen las cosas definidas por ellos. Ese es mí criterio de la existencia y de la verdad.- 

David Hilbert. Carta a Frege de 1899.

En esta cita Hilbert nos desvela que la elección de axiomas está condicionada precisamente a que sean capaces de generar un sistema consistente. No es necesario el criterio semántico para la elección de axiomas. La consistencia es una propiedad que, por sí misma, garantiza la verdad de una teoría matemática. Esta es la primera vez que nos acercamos a un concepto de verdad desligado completamente de cualquier referencia con el mundo de lo real o lo imaginado, una verdad plenamente matemática. ¿Significa eso que hemos conseguido desligar la matemática definitivamente de lo que es asimilable por nuestra intuición? No todos los matemáticos estarían de acuerdo con Hilbert. Dejaremos esta pregunta abierta para próximos artículos…

Completitud

Podemos imaginarnos un sistema formal que de lugar a fórmulas consistentes entre sí. Pero ese sistema puede llegar a ser muy pobre y ofrecernos tan solo un conjunto limitado de fórmulas. De esta manera, la formalización habrá sido algo inútil. Buscamos que el sistema formal dé cuenta de cualquier fórmula verdadera. Necesitamos un concepto nuevo, el de completitud. Se conoce como completitud la capacidad de un sistema  formal de deducir todas las fórmulas verdaderas.

Podemos observar que mientras la propiedad de consistencia limita las fórmulas demostrables, la completitud establece un mínimo de estas fórmulas. Así mismo, mientras que la solidez establecía que todo lo demostrable era verdadero (si ⊢F, entonces ⊨F), la completitud invierte esto y afirma que todo lo verdadero es demostrable (si ⊨F, entonces ⊢F). 

Completitud del Cálculo Proposicional

¿Cumple la propiedad de completitud nuestro Cálculo Proposicional? No haremos esta demostración de completitud porqué es excesivamente larga y requiere de demostrar primero el llamado Teorema de Deducción que veremos más adelante. Pero tal demostración existe, lo que implica que el Cálculo Lógico es completo y que toda fórmula válida, siempre verdadera, es también demostrable en dicho cálculo. 

Decibilidad

Se conoce como decibilidad la propiedad de un sistema lógico de contar con un algoritmo o procedimiento mecánico para determinar si una de sus fórmulas es o no verdadera.

En el Cálculo Proposicional este mecanismo era la elaboración de Tablas de Verdad. Si el conector más externo resultaba siempre verdadero independientemente del valor de verdad de las variables proposicionales, entonces la fórmula era válida. Este procedimiento nos confirma que el Cálculo Proposicional es efectivamente decidible.

Tabla de verdad tautológica
Un ejemplo de tabla de verdad. El bicondicional es el símbolo que resuelve la veracidad de toda la fórmula y da como resultado siempre 1.

La decibilidad por medio de Tablas de Verdad es evidentemente un procedimiento largo y tedioso cuando el número de variables proposicionales crece. Pero lo importante es que la resolución sea posible en un número de pasos finitos, por grande que sea este número. Veremos que esto no es siempre posible en otras lógicas. 

Independencia de Axiomas

Nos falta una propiedad metalógica más a la que podemos hacer referencia. Esta es la independencia de axiomas.

La definición que habíamos dado de axiomas parecía en un primer momento algo vaga, pero pronto revelará su potencial. Los axiomas son fórmulas no demostrables que sirven para cimentar nuestras teorías lógicas. Eso significa que ningún axioma puede ser obtenido dentro del sistema por deducción. Si lo fuera, entonces dejaría de ser una axioma para convertirse en un teorema más. Es a esto lo que denominamos independencia de axiomas. Este criterio debe unirse al de consistencia para ofrecernos axiomas con suficiente potencial.

Lecturas recomendadas

 – Delgado, V. M. (1972) Lecciones de lógica (I).

 – Kolmogórov, A.N. y Dragalin, A.G. (2013) Introducción a la lógica matemática.

 – de Swart, H. (2018) Philosophical and Mathematical Logic.

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