Números irracionales y reales

Aunque la idea de número es tan antigua como la humanidad, su tratamiento desde una perspectiva exclusivamente matemática es algo relativamente moderno. Precisamente por su carácter elemental, primitivo, el concepto de número siempre ha conseguido esquivar los formalismos matemáticos. El descubrimiento de los números irracionales supuso un añadido más a toda esta confusión.

David Baños Abril

La aritmética y la naturaleza de los números

La Aritmética, junto a la Geometría, son las ramas de la matemática con mayor bagaje histórico. Su origen como ciencias fundamentadas en principios rigurosos puede remontarse a la Grecia Antigua. En un principio, ambos campos eran indisociables. Los números podían expresarse como magnitudes espaciales y viceversa.

La naturaleza trascendental de los números fue  comprendida por Pitágoras y sus seguidores, hasta elevar el conocimiento de la matemática a una experiencia místico-religiosa. Los números se encontraban más allá del mundo físico, pero eran el principio que fundamentaba toda la realidad, expresándose en la armonía de la naturaleza.

Números y operaciones

La idea intuitiva de número esta vinculada estrechamente a la acción de contar, de seguir una sucesión. De este sencillo acto se gesta la primera de las operaciones aritméticas: la suma o adición, que no es más que una composición de la acción de contar. Así, mediante la adición podemos generar todos y cada uno de los infinitos números naturales, los enteros positivos ( \mathbb{N} ={0,1,2,3,4…}). A partir de la adición construimos la multiplicación: una conjunción simultánea de sumas. Estas dos operaciones son cerradas en el sentido de que siempre que operemos con números naturales, el resultado será un número que pertenece también a los naturales.

Recta de los números naturales.

Números enteros

Las operaciones inversas a estas amplían nuestro horizonte numérico, pues generan nuevos conjuntos de números. De aplicar la resta sobre los naturales surgen los enteros negativos (-1,-2,-3,-4, etc…). Durante siglos no se tuvieron en cuenta estos números por cierto prejuicio que vinculaba a las cifras con las magnitudes espaciales. No tiene sentido hablar de una longitud -4 y por tanto, su uso no se generalizó hasta el siglo XVI.

A día de hoy están plenamente legitimados y, junto a los números naturales, forman el conjunto de los números enteros ( \mathbb{Z}).

Recta de los números enteros.

Números racionales

La inversa de la multiplicación es la división, también llamada razón. Esa operación es bien conocida desde tiempos inmemoriales y, como la resta, nos ofrece un nuevo conjunto numérico más allá de los números enteros. Se trata de los números racionales \mathbb{Q}: todos aquellos números que surgen de la división entre enteros. Este conjunto acoge tanto los números naturales (por ejemplo \frac{6}{3}, que es igual a  2) como los que habitualmente conocemos como números con decimales: lo mismo podemos expresarlos como una razón (\frac{7}{2}), como con decimales (3.5).

Si pensamos en la recta numérica, vemos que los números naturales se extienden desde el 0 hasta el infinito. Los números negativos desde el -1 hasta el infinito negativo. Los números racionales engloban tanto los números enteros como los espacios entre ellos. Entre dos números enteros consecutivos existen infinitos números racionales.

Recta de los números racionales.

Esta propiedad no es más que la consecuencia de la propia infinitud de los números enteros. A medida que crece el denominador, el número racional que resulta es más y más pequeño.

\frac{3}{8}=0.375
\frac{3}{88}=0.03409…
\frac{3}{888}=0.00337…

Números irracionales

Establecidos los números racionales podríamos pensar que todo el dominio numérico esta ya acotado. La infinitud se extiende tanto hacia magnitudes cada vez más grandes como a las más infinitesimales. Pero lo cierto es que hay más. De hecho hay infinitamente más.

El descubrimiento de los números irracionales nos lleva de nuevo a la Escuela Pitagórica. Reiteramos que en aquella época Geometría y Aritmética eran la misma cosa. Mediante proporciones entre segmentos expresamos cantidades numéricas. Doblar una magnitud dada de tamaño cualquiera sugería el número dos. Partir esa magnitud en dos secciones de igual tamaño se vinculaba a un medio. Este tipo de proporciones eran independientes del sistema usado para medir.

La raíz de 2

Hípaso de Metaponto, un discípulo de Pitágoras, vendrían a desmontar la doctrina de su propia escuela, que sostenía que los números naturales, los enteros positivos, eran el fundamento de toda la realidad. Hípaso demostró que existían cantidades que no podían ser expresadas por medio de números naturales, ni siquiera racionales. Uno de estos números es \sqrt{2}. Si tomamos un cuadrado de lado igual a uno, por el mismo Teorema de Pitágoras la diagonal de dicho cuadrado será \sqrt{2}.

a^{2}+b^{2}=c^{2}
1^{2}+1^{2}=2
c^{2}=2
c=\sqrt{2}
Raíz cuadrada de 2

Cuenta la leyenda que la demostración de la inconmesurabilidad de esta cifra enojó tanto a los pitagóricos que, en uno de sus viajes, asesinaron a Hípaso arrojándolo por la borda del barco.

Si nos fijaos en esta cifra, lo primero que nos damos cuenta es que la expresión decimal de \sqrt{2} es infinita no periódica (no existe un conjunto de cifras que se repita). 

\sqrt{2}=1.41421356237…

No podemos expresarlo plenamente por medio de decimales. Pero esto por sí mismo no es una rasgo definitorio de los números irracionales. Podemos encontrar ejemplos de números racionales con una expresión decimal también infinita. Por ejemplo:

\frac{1}{7}=0.14285714…

Lo que hace particulares a los números irracionales es que esquivan todo intento de acotarlos y definirlos mediante los números enteros ordinarios. 

El descubrimiento de los irracionales

Decía el reconocido matemático Godfrey Hardy que existían dos demostraciones matemáticas que, por su simpleza y por su inmensa repercusión, exhibían como ninguna otra la excelsa belleza de la matemática. Una de esas demostraciones afirmaba la infinitud de los números primos. La segunda es la que expondremos aquí: la irracionalidad de \sqrt{2}.

La demostración aplica el método de reducción al absurdo, esto es, suponer lo contrario de aquello que queremos demostrar y dejar que esto nos lleve a una contradicción insalvable. Siguiendo esto, supongamos que efectivamente \sqrt{2} es un número racional. Por definición esto implicaría que deben existir dos números a y b tales que \frac{a}{b}=\sqrt{2}.

Demostración de la irracionalidad de \sqrt{2}

Vamos a suponer que dicha fracción \frac{a}{b} se encuentra lo más reducida posible. Esto es, numerador y denominador no pueden tener un divisor común puesto que entonces podrían seguir reduciéndose. Por ejemplo, \frac{21}{6} se reduce a \frac{7}{2} pues comparten 3 como divisor común. Para cada número racional solo existe una única fracción que sea reducida al máximo.

\sqrt{2}=\frac{a}{b}
\sqrt{2}b=a

Para despejar la raíz elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuación

2b^{2}=a^{2}

Concluimos que a^{2} es igual a un número multiplicado por dos. Esto es equivalente a decir que a^{2} es un número par, y, por propiedad de los cuadrados, también los es a. Por la definición de paridad, estamos autorizados a igualar a con un número p multiplicado por 2. Así, podemos reformular la hipótesis inicial.

\sqrt{2}=\frac{2p}{b}
\sqrt{2}b=2p
2b^{2}=4p^{2}
b^{2}=2p^{2}

Concluimos que b^{2}, y por tanto b es un número par. Esto significa que \sqrt{2}=\frac{a}{b}=\frac{2p}{2q}. Las fracciones con números pares son reducibles, pues comparten divisor común 2. Ya hemos encontrado la contradicción que buscábamos, puesto que la premisa era que la fracción \frac{a}{b} se encontraba ya reducida al máximo.

Debemos descartar la hipótesis inicial que implicaba que \sqrt{2} era un número racional, y por tanto, tal número es irracional.

Los números reales

Se conocen como números reales \mathbb{R} al conjunto de los números racionales e irracionales.

Conjunto de los números reales

Decimos que los números racionales son densos, es decir, por mínima que sea la diferencia entre dos números racionales distintos, existirán infinitos otros números racionales entre ambos. Pero, la existencia de los irracionales implica que los números racionales no acotan todos los posibles números que existen en la recta real. Por así decirlo, hay huecos que no pueden ser llenados y recorrer los racionales implicaría avanzar a saltos (discontinuidades).

Discontinuidades en la recta de los racionales, provocados por los irracionales

Vemos que la recta de los racionales está plagada de discontinuidades, puntos que no pertenecen a dicha recta. Esos puntos son los irracionales, de los cuales mostramos los tres más famosos: la raíz cuadrada de dos \sqrt{2}= 1.4142…, el número de Euler e = 2.7182…, y el número π = 3.1415…. Realmente existen infinitos de estos números irracionales. De hecho, entre dos racionales cualesquiera, existe al menos un irracional.

Sin embargo, la recta real sí que muestra continuidad. Evidentemente existen muchos más irracionales además de \sqrt{2}. La pregunta a cuántos de ellos existen dará inicio a toda la Teoría de Conjuntos que nacería a finales del siglo XIX de la mano de Georg Cantor y a la que dedicaremos los artículos venideros.

El fenómeno de la continuidad

Definir los irracionales es una tarea difícil. Con los conjuntos numéricos de los negativos y racionales nos bastaba con aplicar las operaciones aritméticas fundamentales de suma, multiplicación, resta y división. Pero la naturaleza de los irracionales no nos permite seguir estos pasos. Ninguna de estas operaciones aritméticas, aplicada sobre cualesquiera números racionales, resulta en un número irracional. Los irracionales son pues inalcanzables. Sus apariciones no provienen de la aritmética, sino de la geometría, como en el caso de la diagonal del cuadrado de lado unidad, o del álgebra, como hemos visto en la demostración de la irracionalidad de \sqrt{2}.

Definir desde la aritmética los números reales (racionales e irracionales) pasa entonces por métodos menos conocidos y más complejos que los vistos hasta ahora. De hecho, históricamente no han aparecido hasta la segunda mitad del siglo XIX. En los artículos venideros veremos que las extrañas propiedades del continuo matemático. Pero para ello será necesario profundizar en un tema que ha asombrado e inquietado a los matemáticos desde el principio de los tiempos: el infinito.

Lecturas recomendadas

 – Dedekind, R. (1888) ¿Qué son y para qué sirven los números?

Los Axiomas de Zermelo-Fraenkel

Los Axiomas de Zermelo-Fraenkel suponen el primer intento exitoso de formalizar y axiomatizar la Teoría de Conjuntos iniciada por Cantor.

El Axioma de Elección

El Axioma de Elección fue necesario para salvaguardar la Teoría de Conjuntos cantoriana muy a pesar de la polémica que suscitó.

La Paradoja de Russell

La Paradoja de Russell amenazó a gran parte de los proyectos llevados a cabo en el siglo XIX por fundamentar la matemática de forma rigurosa.

Paradojas del Infinito

El infinito matemático ha dado lugar a paradojas y resultados insólitos que han desconcertado a los matemáticos desde hace miles de años.

El Continuo matemático

El continuo matemático había esquivado toda definición precisa durante siglos resultando en constantes paradojas; hasta que llegó Cantor…

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