Paradojas del Infinito

Los primeros estudios de perspectiva que aparecieron en el Renacimiento concibieron la idea de punto de fuga, o punto de convergencia de líneas de paralelas, un punto que, geométricamente, se sitúa en el infinito (como se puede apreciar en esta ilustración de Érik Desmazières). En este artículo expondremos algunas de las propiedades más paradójicas e insólitas del infinito matemático.

David Baños Abril

Problemas con el infinito

La mayoría de las grandes paradojas de la matemática implican al infinito de una forma u otra. Es por ello que ha sido fuente de desasosiego para las mentes racionales. Muchos esquivaron el bulto negándose a tratarlo con las debidas formalidades. No es hasta mediados del siglo XIX, con el desarrollo del Análisis moderno, que una generación de matemáticos busca fundamentar las magnitudes infinitas con rigurosidad.

Este artículo será el primero de varios dedicados a la noción matemática del infinito. Expondremos aquí algunas paradojas que han surgido entorno al infinito y las posibles soluciones que se han ofrecido. El título de este artículo ha sido tomado de la obra Paradojas del Infinito de Bernard Bolzano, matemático de mediados del siglo XIX que fue pionero en un tratamiento riguroso de la noción de infinito matemático.

Distinguiendo infinitos

Veremos ahora un ejemplo de lo confuso que puede resultar el infinito. Piénsese en la suma infinita de todos los números, que llamaremos S_{1}

S_{1} = 1 +2 + 3 + 4 + 5 \cdots

Y ahora compárese con la suma de todos los números a partir de uno dado, por ejemplo, 8. Esta serie acoge todos los términos de la serie anterior, excepto los siete primeros, de manera que es tan solo una parte de S_{1}.

S_{8} = 8 + 9 + 10 + 11 + 12 \cdots

Podríamos pensar que la primera serie es mayor que la segunda. Y no solo eso, sino que existiría una cantidad finita de diferencia entre ambas.

S_{1}  –  S_{8} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

Pero también es cierto que si asociamos, en orden, cada término de la serie con su correspondiente en la otra serie (el 1 con el 8, el 2 con el 9, etc..), vemos que los términos que aparecen en S_{8} son siempre mayores. En las sumas finitas de misma cantidad de términos, si todos los términos de una serie son mayores que los términos de la otra, dicha suma es necesariamente mayor. Por ello, si consideramos que nuestras series tienen la misma cantidad de términos (infinitos) llegaríamos a un resultado contrario al del primer razonamiento: la segunda serie es mayor que la primera.

¿Cómo salvar esta contradicción? Es evidente que este tipo de estrategias válidas para los conjuntos finitos no los son cuando tratamos con infinitos elementos. Tendremos que recurrir a otro procedimiento para comparar conjuntos infinitos.

El todo y sus partes

Una de nuestras intuiciones más claras y evidentes es la que asume que el todo es mayor que cualquiera de sus partes. Nos es manifiesto que un segmento de recta, formado por la suma de tres segmentos más pequeños, deberá ser mayor que cualquiera de estas tres partes. Pero esto solo ocurre en el dominio de las magnitudes finitas. Veremos que una de las más sugerentes paradojas del infinito matemático es precisamente contrariar esta ley lógica.

Puntos de una recta

En el colegio suele definirse una línea como una sucesión de infinitos puntos. Veremos que esto tiene consecuencias insólitas.

Póngase dos segmentos sobre una misma línea, ab y ac, siendo el segundo mayor en magnitud. Llamemos x a cualquier punto en ab. Podemos establecer una relación algebraica para que cualquier punto x de ab se asocie a un único punto y en ac

A los infinitos puntos de una recta le corresponden infinitos puntos en otra recta mayor

Por ejemplo, supongamos que ab vale 7 y ac vale 12 de manera que entre cualesquiera puntos de ambos segmentos se conserve una proporción.

\frac{7}{x} = \frac{12}{y}

De esta manera, a cada punto x de ab le corresponde un punto y en ac de forma inequívoca. Por ejemplo, si x fuera 5

\frac{7}{5} = \frac{12}{y}
y = 8.571

Pero esto es también cierto a la inversa: para cualquier y existirá un punto unívoco x en ac. En otras palabras, cada punto de un segmento tiene su pareja en el otro segmento, o lo que es lo mismo, existe el mismo número de puntos en ambas rectas, muy a pesar de que se trata de segmentos de longitudes distintas.

Esto es paradójico. A pesar de que los puntos del segmento ab forman parte también del segmento mayor ac lo cierto es que la cantidad de puntos en ambos es la misma. Y esto será así independientemente del tamaño de dichos segmentos.

Emparejar elementos

El ejemplo anterior nos muestra una de las propiedades más llamativas de los conjuntos infinitos: una parte de un conjunto infinito puede ser también infinita y por ello igualar al todo. El todo es igual a la parte.

Nuestro intento inicial de comparar series infinitas incurrió en una abierta contradicción. Las matemáticas rechazan todo tipo de contradicciones. Sin embargo, son permisibles con aquellos resultados que resultan contraintuitivos. Este procedimiento por emparejamientos, aun resolviéndose en consecuencias paradójicas, es el camino a seguir en la exploración del infinito matemático.

Aplicaciones

En matemáticas se denomina aplicación a una correspondencia o emparejamiento entre los elementos de un conjunto. Cada elemento puede vincularse con tan solo un único elemento del otro conjunto. Aplicación y función son conceptos equivalentes, aunque reservaremos el término «función» cuando exista una relación algebraica entre los conjuntos.

Dada la imposibilidad de contar cuántos elementos forman un conjunto infinito, los matemáticos han recurrido reiteradamente a esta estrategia de emparejar elementos. Se considera, que si cada elemento de un conjunto se le vincula con un único elemento del otro y viceversa sin que ninguno quede desparejado, ambos conjuntos son del mismo tamaño. Este procedimiento se conoce como aplicación biyectiva y es igualmente válido para conjuntos finitos e infinitos.  

Tipos de relación entre dos conjunto, un dominio y un codominio

Como puede comprobarse en la ilustración, una aplicación biyectiva es el término referido al caso en que es posible una aplicación tanto inyectiva como suprayectiva entre dos conjuntos. La posibilidad de establecer una aplicación biyectiva implica que ambos conjuntos cuentan con el mismo número de elementos. 

Definiendo el infinito

Esta propiedad se refleja en los dominios numéricos. Es bien conocido que Galileo  hizo notar que cada uno de los infinitos números naturales podía asociarse unívocamente con su cuadrado. Esta operación podría continuarse indefinidamente de manera que resultase en dos conjuntos emparejados, ambos infinitos. Pero, a pesar de ser infinitos, el conjunto de los cuadrados no abarca todos los números naturales, tan solo una parte de estos. 

1  ⇒  1
2  ⇒  4
3  ⇒  9
4 ⇒  16

Lo mismo podría decirse de los conjunto de los infinitos números pares o impares. De nuevo, partes propias, que contienen menos elementos que la totalidad pero la igualan en magnitud. Muchos matemáticos han visto en esta propiedad, a saber, la posibilidad de establecer una aplicación biyectiva con una parte propia, como la característica definitoria de todo conjunto infinito, como puede ser el conjunto de los números naturales.

Aritmética del infinto

La paradoja de Zenón

Una de las paradojas más célebres que atañen el infinito es aquella que se atribuye al sabio griego Zenón y que implica una desigual carrera entre el héroe Aquiles y una tortuga. En esta carrera, Aquiles cede cierta ventaja a la tortuga. Aparentemente, la mayor velocidad de Aquiles haría que, por mucho margen que se le diese a la tortuga, este acabaría adelantándola. Pero, este planteamiento aparentemente obvio esconde una paradoja. Recorrer una distancia cualquiera implica, como es obvio, recorrer antes la mitad de dicha distancia. Y a su vez, alcanzar esta mitad implica haber pasado la mitad de esta y así sucesivamente, con tramos cada vez más pequeños. En conclusión, por pequeño que sea el tramo a recorrer, Aquiles debería ejecutar un número interminable de pasos, por lo que nunca llegaría a su meta.

Serie infinita geométrica

Si Aquiles desea alcanzar el punto B partiendo de A, debe, en algún momento, cubrir primero la mitad de su recorrido (\frac{1}{2}). Para recorrer la otra mitad debe recorrer primero la mitad de esa mitad (\frac{1}{4}) y así sucesivamente, extendiendo este razonamiento hasta el infinito.

Series matemáticas

Esta paradoja es un ejemplo como a veces la lógica puede jugarnos una mala pasada. Aunque su resolución no es fácil, los avances matemáticos que se efectuaron a partir del siglo XVII permitieron el tratamiento matemático de procesos que conllevan una suma de infinitos pasos.

En matemáticas denominamos serie (que no sucesión) al sumatorio de infinitos términos. La carrera de Aquiles, tal y como la hemos descrito, sería una serie tal que:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \cdots

Los griegos consideraban que una suma de infinitos términos, por pequeños que estos fueran, debía de resultar en el infinito. Aunque pueda parecer contrario a nuestra intuición, una suma infinita (como es la que estamos analizando) no siempre crece y crece fuera de toda comprensión. Esto es algo que no se comprendió de manera formal hasta dos mil años después de Zenón.

Series convergentes

No es objetivo de este artículo introducir la noción matemática de límite. Nos ajustaremos a definir el límite como un valor al que tiende una suma infinita a medida que sumamos los términos uno a uno y que por tanto se considera como el resultado final de la serie dada en su totalidad infinita.

El resultado de muchas de estas series no siempre resultan en una magnitud infinita. Se denominan series convergentes cuando el límite de la suma resulte en un punto preciso de la recta real. La anterior serie de sucesivas mitades es un tipo de serie geométrica descrita como

\displaystyle\sum_{n=0}^{∞} ar^{n}

siempre que r < 1. En el caso de la serie de la carrera de Aquiles, r = \frac{1}{2} y a = \frac{1}{2}. Podemos comprobar que el primer elemento de la serie es efectivamente \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^0 = \frac{1}{2}1 = \frac{1}{2} .

Demostración

Demostraremos ahora que el resultado de la serie infinita de Aquiles es igual a 1. Con ello buscamos ejemplificar la posibilidad de resolver una suma infinita sin necesidad de sumar una infinita cantidad de términos. Tal serie es descrita como

\displaystyle\sum_{n=0}^{∞} \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^{n}

Podemos extraer de esta serie su primer término,  \frac{1}{2}, de manera que 

\displaystyle\sum_{n=0}^{∞} \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^{n}  =  \frac{1}{2}  +  \displaystyle\sum_{n=1}^{∞} \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^{n}

Debemos ver que esta nueva serie que tiene como primer término \frac{1}{4} (dado que comienza siendo n = 1), es igual que la serie completa multiplicada por \frac{1}{2}

\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \cdots  =  \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \cdots)

o lo que es lo mismo

\displaystyle\sum_{n=1}^{∞} \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^{n}  =  \frac{1}{2}(\displaystyle\sum_{n=0}^{∞} \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^{n}) 

Si sustituimos en la primera expresión nos queda que 

\displaystyle\sum_{n=0}^{∞} \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^{n}  =  \frac{1}{2}  +  \frac{1}{2}(\displaystyle\sum_{n=0}^{∞} \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^{n})

Por abreviar, denominaremos a la serie completa \displaystyle\sum_{n=0}^{∞} \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^{n} como s y continuamos despejando

s = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(s)
s  –  \frac{1}{2}(s)  =  \frac{1}{2}
s(1  –  \frac{1}{2})  =  \frac{1}{2}
s  =  \frac{1}{2}/(1  –  \frac{1}{2})
s  =  1

A pesar de tratarse de una suma infinita, hemos demostrado que su resultado converge en 1.

Conclusión

Estas extrañas propiedades asociadas al infinito matemático han resultado en que muchos matemáticos, incluidos algunos de gran renombre, se hayan apartado del infinito, tratándolo como una noción imposible de formalizar e inútil. Sin embargo, veremos en los próximos artículos que hubo una mente que supo cómo lidiar con el infinito matemático. Esa mente fue Georg Cantor y a él le dedicaremos nuestros próximos artículos. 

Lecturas Recomendadas

 – Bolzano, B. (1851) Paradojas del infinito.

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