Lógica Proposicional y Tablas de Verdad

David Baños Abril

Podemos recurrir al Álgebra de Boole de 0s y 1s para modelar cualquier propiedad binaria. La lógica proposicional atañe a enunciados que o bien son falsos o bien verdaderos. Lo veremos mediante el uso de Tablas de Verdad.

Lógica Proposicional

La lógica de las proposiciones es la rama más simple e intuitiva desde la que comenzar a explorar el mundo de la lógica. Muchos manuales optan por ella como cimiento de la lógica. Nosotros también lo haremos, siendo conscientes de que es solo una parte de la lógica matemática que irá aumentando de complejidad, pero también de posibilidades.

Utilizaremos frases del lenguaje ordinario para facilitar la comprensión, pero debes saber que no son equivalentes a la formulación lógica. La precisión de los lenguajes formales depende del uso de signos definidos sin ambigüedades y de una sintaxis explícita. La lógica cuenta con su propia gramática y sus propios caracteres que habrá de conocer.

Proposiciones

Las proposiciones son los elementos básicos con los que se construye esta sistema, y se denotan con letras mayúsculas. Una proposición es un enunciado que, o bien es verdadero (con el valor 1) o bien es falso (valor 0); por ejemplo: «Este rival los supera a todos». Puede ser verdadero o  falso, pero no tiene sentido que sea las dos cosas o ninguna. Así, en lógica proposicional solo existen esos dos valores de verdad. Un enunciado que no es una proposición es «x = 2+2«, dado que no tiene un valor de verdad claro al depender de cuanto valga x.

El concepto de proposición es abstracto y no hace referencia a una expresión concreta. Por eso, proposición no es lo mismo que una frase. Dos frases diferentes como pueden ser «Este rival los supera a todos» y «Todos son superados por este rival» son en realidad una misma proposición.

Para representar una proposición a la que aún no se le ha asignado un valor de verdad utilizamos variables proposicionales, escritas con letras minúsculas. Las variables proposicionales son algo así como carcasas que flotan entre los infinitos universos lógicos posibles,  esperando a ser interpretadas. Cuando queramos expresar fórmulas generalizables a cualquier proposición, utilizaremos estas variables proposicionales.

Interpretación de Proposiciones

Decimos que una variable proposicional es interpretada (o también que asume un interpretación I) cuando adopta un valor de verdad, 1 o 0. En la interpretación del universo de Tolkien, la proposición m = «algunos individuos son inmortales» es interpretada como verdadera (m^{I_{MundoTolkien}} = 1), no así en nuestro mundo (m^{I_{MundoReal}} = 0). Este ejemplo debe de hacernos ver que una variable proposicional y su interpretación son cosas distintas. Tener clara esta distinción nos ayudará a comprender lo que vendrá más adelante.

Funciones de Verdad

Si George Boole fue el padre de la lógica moderna, el lógico alemán Gottlob Frege sería su segundo fundador. A Frege le debemos el uso de las conocidas como funciones de verdad, que permiten combinar el Álgebra Booleana con las proposiciones. Al final y al cabo, a estas se les adjudica dos posibles valores, verdadero y falso.

Para Frege, la matemática se sustentaba sobre dos elementos primordiales: los objetos y las funciones. Las funciones son relaciones entre objetos. A la función se le cede unos objetos, conocidos como argumentos, y esta devuelve uno y solo un resultado, que también es un objeto. Por ejemplo f(x) = x+2 es una función f que para cada argumento (en este caso un número natural x) da como resultado otro número que es igual a x+2. Si x es 3, entonces f(x) será 5. Otra función podría ser g(x) = el nombre del caballo de x, que asocia dos conjuntos, el de los propietarios de un caballo con nombre y el de nombres de caballo (suponemos que cada propietario solo puede tener un caballo). Cuando x vale Gandalf, g(x) tiene un valor de Sombra Gris.

Gottlob Frege estableció un tipo especial de funciones, llamadas funciones de verdad, que solo operaban con dos tipos de objetos, el 1, el valor verdadero, y el 0, el valor falso. En funciones que reciben un solo argumento, este evidentemente solo puede ser una de esas dos posibilidades. Para funciones de dos argumentos f(x, y) las posibilidades son 2^{2}=4, que serían (1,1), (1,0), (0,1) o (0,0). Por ejemplo, la función conjuntiva que veremos luego c(x, y), devuelve 1 cuando recibe como argumento (1,1), y 0 para el resto de argumentos. Diferentes funciones devolverán valores distintos para mismos argumentos.

Conectores Lógicos y Tablas de Verdad

En el lenguaje de la lógica proposicional, las funciones de verdad se representa mediante conectores lógicos. Gracias a estos podemos construir nuevas proposiciones a partir de otras.

Los conectores lógicos reciben como argumentos valores de verdad. Así, la nueva proposición formada por el conector tendrá uno y solo un valor de verdad que dependerá de los valores de verdad de las proposiciones que la forman y del tipo de conector que las une. Habrá conectores diádicos (dos argumentos) y conectores monádicos (un solo argumento). 

Representaremos los conectores mediante las llamadas Tablas de Verdad. Cada fila representa una posible combinación de valores de verdad, o lo que es lo mismo, las posibles interpretaciones de dos variables proposicionales (p y q). En la última columna aparecerá el valor resultado de la función de verdad.

Se debe puntualizar que los ejemplos que usaré sirven de mero apoyo didáctico. Los conectores lógicos representan el concepto de función matemática y se deben solo a ese concepto. Son, por tanto, independientes de las estructuras del lenguaje.

¬ p
Tablas de verdad - Negación

Negación

Este es un conector monádico, para un solo argumento. La negación cambia la veracidad o falsedad de un enunciado. Debe quedar claro que no es lo mismo que la negación gramatical. Una proposición p puede ser por ejemplo «No hay un Balrog en Moria», que es una oración negativa. Es viable y en caso de que fuera falsa, ¬ p debe ser opuesta e incompatible, es decir, verdadera («Hay un Balrog en Moria»).

«¡No puedes pasar!»

p ∧ q
Tablas de verdad - Conjunción

Conjunción

La conjunción, equivalente al castellano «…y…», es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas.

«Muchos vivos merecerían la muerte y algunos que mueren merecen la vida»

p ∨ q
Tablas de verdad - Disyunción

Disyunción

La disyunción es verdadera siempre y cuando sean verdaderas alguna de las variables o ambas y corresponde con nuestra «…o…».

«¿Me deseas un buen día o quieres decir que hoy es un buen día lo quiera o no?»

p → q
Tablas de verdad - Condicional

Condicional

El condicional, también llamado implicación, niega la posibilidad de que la primera variable sea cierta sin que lo sea la segunda. Corresponde a lo que vulgarmente sería «si…entonces…». Debe apuntarse que la condicionalidad no es bidireccional: p no puede concluirse a partir de q.

«En caso de duda, Meriadoc, sigue siempre a tu olfato»

p ↔ q
Tablas de verdad - Bicondicional

Bicondicional

El bicondicional o condicional recíproco restringe su valor de verdad o bien cuando ambas variables son ciertas o cuando ambas son falsas. En lenguaje ordinario sería «…si y solo sí…». En este caso sí es bidireccional de forma que (p→q)∧(q→p). Tanto el bicondicional como el condicional cumplen el principio de que, dadas unas premisas verdaderas, la conclusión nunca puede ser falsa, un principio que será trascendental cuando veamos reglas de inferencia.

«Solo tu puedes decidir qué hacer con el tiempo que se te ha dado»

p ⊻ q
Tablas de verdad disyunción exclusiva

Disyunción exclusiva

La disyunción opuesto resulta falsa siempre que los valores de verdad de las proposiciones coincidan.

«¡No he vencido al fuego y a la muerte para intercambiar falacias con un gusano sarnoso!»

Realmente podría haber muchos más conectores lógicos. Pero estos siete conectores son los más usados en el lenguaje de la lógica.

Tablas de Verdad e Interpretaciones Semánticas

Todas las expresiones, por complejas que sean, tienen también un valor de verdad concreto cuando las variables que las forman son interpretadas. Gracias a las Tablas de Verdad, podemos averiguar el valor de verdad de una expresión. Esta tabla será parecida a la que hemos visto para los conectores. Por ejemplo el siguiente argumento:

Argumento 3:

«Si tres mil vidas de hombres he hollado en esta tierra entonces sí o sí, o bien tres mil vidas de hombres he hollado en esta tierra y ahora me falta tiempo o bien tres mil vidas de hombres he hollado en esta tierra y ahora no me falta tiempo»

Que podríamos traducir a lenguaje de lógica proposicional de la siguiente manera:

p ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)]

Y que resulta en esta Tabla de Verdad:

Tabla de verdad tautológica

El procedimiento consiste en ir solucionando los valores de los conectores para cada interpretación de las variables. Aunque no aparezcan los paréntesis, estos son necesarios para resolver los conectores de forma ordenada, desde los paréntesis más interiores hasta el conector más externo, que en este caso es un bicondicional ↔. Los valores de este último nos indican el valor de verdad de la proposición en su conjunto.

Modelos de Interpretación

Las interpretaciones de variables (las filas en las Tablas de Verdad) en las que la expresión resulta cierta se conocen como modelos de la expresión. Para una proposición con dos variables, como la que hemos visto antes, un modelo podría ser p=1/q=0, puesto que en la fila en la que las variables toman esos valores, la proposición se resuelve como verdadera. Fijándonos bien, realmente todas las filas de tabla dan como resultado 1, verdadero.

Posibles Valores en las Tablas de Verdad

Al resolver la proposición nos podremos encontrar con tres casos distintos:

Todas las interpretaciones posibles dan una proposición verdadera: o lo que es lo mismo, todas las interpretaciones posibles son un modelo. Es el caso del ejemplo anterior en el que el bicondicional da como resultado siempre 1. Estas proposiciones se denominan válidas o tautológicas y se caracterizan porque no aportan nada de información. Pero son extremadamente útiles, como veremos a continuación.

Todas las interpretaciones posibles dan una proposición falsa: en este caso se denominan contradicciones y son falsas en todos los universos lógicos posibles. Un ejemplo es (p ∧ ¬q) → q .

Algunas interpretaciones ofrecen una interpretación falsa y otras no: se llaman contingentes y son verdaderos dependiendo de la interpretación de las variables.

Proposiciones Válidas

Algunas proposiciones complejas como esta que acabamos de apuntar tienen una cualidad especial. Si nos fijamos en su equivalente lingüístico, lo primero que notamos es que es evidente por sí misma, casi parece una perogrullada. Este tipo de enunciados se conocen como proposiciones válidas, tautologías o también enunciados analíticos. Su principal característica es que el valor resultado de la proposición es siempre verdadero, independientemente de los valores de verdad que puedan tomar las variables proposicionales que la forman. Realizar Tablas de Verdad es un procedimiento bastante sencillo para saber si una determinada expresión es o no una tautología.

Las proposiciones válidas nos permiten la generalización para cualquier interpretación posible de las variables. Por tanto se tratan de verdades lógicas universales.

Existen infinitas proposiciones válidas. Veremos ahora algunas de las más importantes:

Principales Proposiciones Válidas

p ↔ p

Principio de identidad: toda proposición es equivalente e intercambiable por sí misma.

(p ⊻¬p)

Principio de tercio excluido: si existen dos proposiciones y una afirma y la otra niega, solo una de ellas puede ser verdadera. No existe una tercera opción.

¬¬p↔p

Principio de doble negación: afirmar es equivalente a negar una negación.

(p ∧ q)↔(q ∧ p)

Ley conmutativa: el orden de las proposiciones conjugadas es equivalente.

[(p ∧ q) ∧ m]↔[p ∧ (q ∧ m)]

Ley asociativa

[(p → q) ∧ (q → m)] → [(p → m)]

Ley de transitividad

El número de proposiciones válidas es infinito. Aquí solo hemos puesto algunas de las más usuales de ver en tratados de lógica y que tendrán su importancia más adelante.

Lecturas Recomendadas

 – Delgado, V. M. (1972) Lecciones de lógica (I).

 – Kolmogórov, A.N. y Dragalin, A.G. (2013) Introducción a la lógica matemática.

 – de Swart, H. (2018) Philosophical and Mathematical Logic.

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