La Teoría de Conjuntos de Cantor

El matemático Georg Cantor fue la mente que, de una vez por todas, lograría dotar al oscuro concepto de infinito de un tratamiento matemático preciso. Para ello, dio a luz a la soberbia Teoría de Conjuntos, la herramienta que le permitiría lidiar con el siempre esquivo concepto de infinito.

David Baños Abril

El problema del infinito

A finales del siglo XIX, el Análisis era una de las herramientas matemáticas más poderosas, principal nexo de unión entre la Matemática pura y sus aplicaciones en las Ciencias Naturales. A pesar de haber desterrado conceptos polémicos como el de los «infinitesimales», el Análisis estaba lejos del nivel de rigurosidad que comenzaba a exigirse en todas las ramas de la matemática. La aparición del siempre confuso y paradójico infinito en cada nuevo descubrimiento matemático suponía un quebradero de cabeza.

Infinito en potencia

Ya hemos visto en el artículo previo las dificultades asociadas al infinito matemático. Tales problemáticas fueron suficientes para que ciertos matemáticos aborreciesen el infinito y lo relegasen a las discusiones filosóficas. Para muchos de ellos, el infinito es simplemente la posibilidad de continuar un procedimiento una y otra vez. Es lo que Aristóteles denomina infinito en potencia, infinito como posibilidad. Para Gauss, lo importante es el límite, el punto hacia el que tiende una magnitud creciente. Un ejemplo es la serie 4.4, 4.49, 4.499 \cdots que podría continuar indefinidamente pero que tiene como límite 4.5. Existen series, llamadas divergentes, que no convergen hacia un punto, sino que crecen perpetuamente. Se dice que tales series tienen su límite en .

Cantor y el infinito

Una cosa es que una entidad racional como el ser humano sea capaz de reflexionar acerca de la posibilidad de continuar una operación de forma indefinida, como es la de contar, y otra entender el infinito como un objeto, cerrado y delimitado. Este tratamiento del infinito como infinito en acto, es decir, una unidad diferenciada, de alguna manera atenta contra la lógica más elemental, en tanto que pretende acotar y precisar aquello que se define justamente como carente de límite. Pero ya hemos visto que la resolución de series convergentes implica considerar a su interminable cantidad de términos como una única totalidad. Cualquiera reducción a un número finito de términos ofrecerá tan solo una solución próxima.

Retrato de Georg Cantor

El protagonista de este artículos y los venideros será el que asuma esta última interpretación del infinito, llevándola a sus últimas consecuencias. Georg Cantor, nacido en el seno de la comunidad germana de San Petersburgo, de genialidad pocas veces superada en la historia de la matemática. Cantor era a la vez matemático, filósofo y teólogo, y siempre se mostró orgulloso de beber de tan diversas fuentes. A él se le debe la Teoría de Conjuntos, una nueva rama de la matemática que le permitiría lidiar conceptualmente con el infinito. Nos basaremos principalmente en su obra «Fundamentos para una Teoría General de Conjuntos», de 1883.

La Teoría de Conjuntos

La idea de conjunto en matemáticas no es muy diferente a la acepción cotidiana de la palabra. Cantor definió conjunto como toda pluralidad de elementos bien definidos que se toma como un todo. Conjunto por tanto, no es un simple listado de elementos. Es un conjunto si la totalidad de dichos elementos es en sí una unidad. Así, los elementos ‘Chico’, ‘Groucho’, ‘Harpo’ y ‘Zippo’ forman un conjunto: «Hermanos Marx». Como veremos, Cantor abre la posibilidad de conjuntos de infinitos elementos. Denotamos los conjuntos con corchetes:

Hermanos Marx = \{Chico, Groucho, Harpo, Zippo\}

La Teoría de Conjuntos aspira a ser el fundamento de toda la Aritmética, ofreciendo las bases a partir de las cuales definir con precisión los números naturales y las deducciones consecuentes. Para ello debe apoyarse en conceptos sencillos y claros, pero con suficiente potencial para sostener el enorme edificio de la matemática acumulado durante tantos siglos. Es así que en nuestra exposición ni siquiera daremos de antemano al concepto de número. Nuestro primer paso será precisamente justificar los números naturales a partir de esta noción de conjunto.

Potencia

La definición de conjunto ignora cualquier particularidad de los elementos y se ciñe a una propiedad: la potencia del conjunto. Se dice que dos conjuntos comparten una misma potencia si es posible establecer una aplicación biyectiva, es decir, se pueden formar parejas sin que ningún elemento quede desparejado.

Ejemplo de dos conjuntos equipotentes. Como se ve, es irrelevante con qué elemento se forme cada pareja. Tampoco se presupone que los elementos estén ordenados. Mientras sea posible formar parejas sin que ningún elemento quede excluido de la biyección, serán conjuntos equipotentes.

Intuitivamente, el concepto de potencia encaja con la idea común cantidad de elementos. Téngase esto cómo apoyo, pero será conveniente ceñirse a las estrictas definiciones matemáticas en lo que reste del artículo.

Conjuntos bien ordenados

Un concepto clave, sobre el que se sostiene toda la Teoría de Conjuntos de Cantor, es el de conjunto bien ordenado. Un conjunto está bien ordenado si existe un elemento inicial o primer elemento. Definimos elemento inicial como un elemento n tal que, para cualquier elemento del conjunto m, entonces n≤m. Tal restricción debe cumplirse para todos los posibles subconjuntos, todos deben tener un elemento inicial. En otras palabras, entre cualesquiera dos elementos distintos del conjunto, siempre debe existir un vínculo del tipo «mayor que».

En la obra de Cantor, «bien ordenado» a llegado a ser sinónimos de «conjunto». Si una multiplicidad de elementos es bien ordenable, entonces será un conjunto y viceversa.

En este ejemplo vemos arriba un conjunto finito bien ordenado. Todos los posibles subconjuntos de este, como el ejemplo de abajo, tienen un primer elemento, tal y como establece la definición de buen orden.

Números bien ordenados

Los números naturales son un ejemplo de conjunto bien ordenado linealmente:

\mathbb{N} = \left \{1, 2, 3 \cdots \right \}

Un subconjunto de los números naturales como \left \{1456, 45, 679, 13946695 \right \} puede bien ordenarse 

45 < 679 < 1456 < 13946695

Piénsese en los números enteros \mathbb{Z} ordenados de esta manera:

\mathbb{Z} = \left \{\cdots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \cdots \right \}

Tal orden no es un buen orden, puesto que no existe un elemento inicial mínimo.

Enumeraciones y números

Llamamos enumeración (o conteo) a un caso de aplicación en la que, cuando se sucedan dos elementos en uno de los conjuntos, se sucedan también en el otro conjunto, abarcando el enumerador todos los elementos del conjunto enumerado. Es evidente que enumerar un conjunto implica bien ordenarlo y a la inversa, si un conjunto es bien ordenable significa que es también enumerable. Todos los conjuntos que pueden enumerarse entre sí, comparten un mismo tipo de orden.

La imagen superior muestra una enumeración del conjunto A al conjunto B. Decimos que A enumera a B. Sin embargo en la imagen inferior comprobamos que B no enumera a A, pues no alcanza a todos sus elementos. Cantor abstrae este hecho y afirma que estos conjuntos tienen un tipo de orden distinto y que el tipo de orden de A es mayor que el de B.

Números ordinales

Si un conjunto de tipo de orden α enumera a otro de orden β, pero no a la inversa, es evidente que se trata de tipos de orden distintos. Y no solo eso, sino que entre ambos órdenes existe también un buen orden: α es mayor que β. De esto se deducen dos cosas. En la Teoría de Conjuntos, Cantor justifica los números sobre estos tipos de orden. La sucesión bien ordenada de tipos de orden es lo que Cantor llama números ordinales o simplemente números.

La primera conclusión que debemos sacar es que todo conjunto tendrá un tipo de orden/ número ordinal asociado.

La segunda consecuencia del ordenamiento de los tipos de orden/ordinales es que ellos mismos forman un conjunto, el conjunto de los números ordinales. Se trata, evidentemente, de un conjunto infinito:

\left \{ α, {α}’, {α}", {α}"’ \cdots \right \}

O también:

\left \{ 1, 2, 3, 4 \cdots \right \}

Recurriremos a este conjunto de los ordinales como conjunto de referencia o enumerador de otros conjuntos.

Potencia y orden

Hemos puesto la restricción de que el conteo de los conjuntos debe seguir un orden lineal. Como es evidente a nuestra experiencia cotidiana, esa enumeración no cambiará si hacemos el conteo siguiendo otro tipo de orden. Pero esto es porque tratamos con conjunto finitos.

Este diagrama muestra dos aplicaciones biyectivas diferentes. En ambas, ningún elemento queda desparejado, por lo que decimos que los dos conjuntos, azul y rosa, son equipotentes (5). Pero solo la aplicación superior es una enumeración, que es la que nos permite determinar el ordinal del conjunto, que en este caso es 5.

En el caso de conjuntos infinitos, veremos ahora que las enumeraciones resultarán en números ordinales diferentes para un mismo conjunto, dependiendo de cómo estén ordenados sus elementos. Por eso será necesario distinguir entre la cantidad de elementos de un conjunto (su potencia o cardinalidad) de su ordinal (o tipo de orden). Convendrá tener claro esto puesto que en su diferencia se fundamenta toda la obra inicial de Cantor.

Ordinales transfinitos

El ordinal infinito ω

Los conjuntos \left \{ a_{1}, a_{2}, a_{3} \cdots \right \} y \left \{ a_{7}, a_{8}, a_{9} \cdots \right \} pueden ser igualmente enumerados por los infinitos números naturales. ¿Qué ordinal le corresponde a una sucesión como esta? De la misma manera que en matemáticas hacemos uso de n (o enésimo) para denotar un número natural cualquiera, Cantor concibió el número ordinal ω como el límite al que tiende el infinito; un tipo de orden que expresa una sucesión infinita dada en su forma completa. Así, los conjuntos ejemplo tienen ambos el ordinal ω, el infinito ordinal. Cantor cumplía su propósito de establecer el infinito como un objeto delimitado y definido.

Debemos advertir que ω NO expresa la totalidad de los números, no es un conjunto de elementos, sino a la «tendencia» de una sucesión infinita. 

Los ordinales transfinitos

Pero veamos los conjuntos \left \{ a_{1}, a_{2}, a_{3} \cdots \right \} y \left \{ b_{2}, b_{3} \cdots , b_{1} \right \}. Ambos tienen la misma cantidad de elementos, la potencia de los números naturales. Además, el primero tiene un ordinal ω. Sin embargo, el segundo conjunto tiene una primera parte de orden ω, seguida de un elemento, b_{1}. Este último está fuera de la enumeración, es decir, la serie infinita de ω nunca llega a alcanzarlo.

Por tanto, un conjunto de orden ω  no puede enumerar a otro con un tipo de orden mayor de ω. Por ello, decimos que dicho conjunto tiene un ordinal ω + 1. Así, a diferencia de los conjuntos finitos, el ordinal de un conjunto infinito depende de cómo este se ordene. Por ejemplo, \left \{ a_{2}, a_{3}, a_{4} \cdots, a_{1}  \right \} y \left \{ a_{3}, a_{4}, a_{5}, \cdots , a_{1}, a_{2} \right \} son los mismos conjuntos (en el sentido que tienen los mismos elementos y evidentemente la misma potencia) pero con diferente orden y por ello, distinto ordinal, ω + 1 y ω + 2 respectivamente. respectivamente.

Muy a pesar de tratarse del mismo conjunto infinito, el conjunto superior no puede enumerar al de abajo, dado que su tipo de orden es mayor que ω.

El Primer Principio de Adición

Siempre es posible sumar la unidad a un número ya dado. A esto lo llama Cantor Primer Principio de Adición y es lo que justifica a los infinitos números naturales. Pero como vemos, también es aplicable al ordinal ω, por lo que la serie seguiría con ω + 1, ω + 2, ω + 3

Todos estos números se conocen como ordinales transfinitos. Estos transfinitos se encuentran igualmente ordenados de menor a mayor (ω es el más pequeño de todos), y por lo tanto, deducimos que podemos sumarlos y restarlos, lo que justifica su tratamiento como números. Pero tienen propiedades «extrañas» a los números naturales. Sumar el infinito ω a 1 devuelve ω; la unidad inicial no repercute sobre el infinito. Pero si consideramos la sucesión ordenada infinita como un objeto dado en su forma completa y determinada, entonces sumar 1 a ω resulta en un número completamente diferente: ω + 1. No se cumple, por tanto, la propiedad conmutativa: 1+ω ≠ ω +1.

El Segundo Principio de Generación

Cantor propone un Segundo Principio de Generación: establecer un ordinal límite al que tiende dicha sucesión infinita y que se define como un número mayor que cualquier miembro de la sucesión. En el caso de la sucesión de los naturales, su límite es, como vimos, el ordinal ω. Para la sucesión ω + 1, ω + 2, ω + 3…  el ordinal límite es ω + ω, o lo que es lo mismo, (en textos posteriores, Cantor diría ω·2). Un ejemplo de conjunto de ordinal sería la sucesión de los infinitos números pares, seguido de los infinitos impares:

\left \{ 0, 2, 4, 6 \cdots, ω, 1, 3, 5, 7 \cdots, ω \right \}

Este nuevo principio de establecer límites infinitos podremos continuarlo una y otra vez: 2ω+1, 2ω+22ω+ω = 3ω, y seguir con , ωω que es igual a ω^{2}, y luego ω^{3}, ω^{4}ω^{ω}, etc…

Matriz de ordinal transfinito

Ejemplo de una matriz bidimensional de ω^{2}. Podemos imaginar que dimensiones mayores de dos equivalen a ordinales transfinitos como ω^{3}, ω^{4}, etc…, incluso una matriz de infinitas dimensiones para el caso de ω^{ω}.

El segundo principio de generación puede resultar poco justificado. Cantor no haría ningún esfuerzo por demostrar estos principios en un primer momento, aunque reconoció que eran una consecuencia lógica de considerar el infinito en acto. Serían los descubrimientos posteriores lo que acreditaría estos presupuestos.

El tercer principio

Parecería que con esta sucesión, simplemente nos perdemos en una desmesurada sucesión de monstruosas cantidades transfinitas. Poco habría de aportar el trabajo de Cantor si hubiera de terminar así. Pero la Teoría de Conjuntos todavía tienen mucho que ofrecer.

Cantor establece un tercer principio, el Principio de Limitación: todos los ordinales transfinitos son equipotentes al conjunto de los números naturales, o lo que es lo mismo, designan conjuntos de una misma cantidad de elementos. Lo hemos visto para el caso de un conjunto ordinal de orden formado por la infinita secuencia de números pares y números impares. Es evidente que siendo «doblemente infinito», contiene «tan solo» al conjunto de números naturales.

Biyección entre los números naturales y una matriz transfinita

La matriz de ω^{2} puede ser totalmente cubierta por el conjunto de números naturales. Ninguna de las celdas quedaría sin cubrir siguiendo una ruta en diagonal a través de la matriz. Con esto demostramos que es posible una biyección entre el conjunto de los números naturales y un conjunto de ordinal ω^{2}, y con ello, que la potencia de ambos conjuntos es la misma.

Figura que muestra la secuencia de ordinales transfinitos

Un diagrama que resume lo visto de los ordinales transfinitos. A partir de la unidad surgen los infinitos números naturales (en azul) 1, 2, 3, 4 \cdots por el Principio de Adición. Luego, por el segundo Principio de Generación, toda esa secuencia completa se toma como un nuevo objeto matemático que denotamos como ω y al que puede aplicársele de nuevo el primer principio, resultando en la serie ω+1, ω+2, ω+3, ω+4 \cdots. Definimos los ordinales transfinitos (en violeta), como todos los números generados por estos dos principios. Tienen todos ellos una misma potencia, la potencia de los números naturales [ω] por el tercer principio o Principio de Limitación.

Más allá de los números naturales

Aunque el conjunto de los números naturales puede adoptar infinitos tipos de orden, es evidente que existe uno y solo un tipo que es el más pequeño de todos: ω. Cualquier otro conjunto con el que se pueda establecer una biyección con el conjunto de los números naturales deberá tener también ω como su mínimo ordinal. De la totalidad de conjuntos que pueden biyectarse entre sí decimos que comparten la misma potencia, el mismo número cardinal.

La pregunta que debemos hacernos a continuación es evidente ¿Existen conjuntos que tengan infinitos elementos y que su potencia sea mayor a la de los números naturales? La respuesta es sí y será el tema de nuestro próximo artículo.

Lecturas recomendadas

 – Cantor, G. (1883) Fundamentos para una Teoría General de Conjuntos. Escritos y correspondencia selecta. Editado por José Ferreiros

 – Torretti, R. (1998) El paraíso de Cantor: La tradición conjuntista en la filosofía matemática.

– Ferreiros, J. (1999) Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics.

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