Paradojas y la Teoría de Tipos

David Baños Abril

En el artículo previo explicamos dos de las paradojas que más impacto tuvieron en la matemática de principios del siglo XX: la Paradoja de Russell y la Paradoja de Cantor. Las paradojas supusieron un reto para el proyecto logicista. La Teoría de Tipos desarrollada por Russell vendría a solventar estos problemas.

El concepto de Paradoja

Uno de los principios más elementales de cualquier lenguaje formal como puede ser el utilizado en cualquier rama de la matemática es discernir entre teoremas que son ciertos de aquellos que no lo son. Toda expresión matemática tendrá uno y solo un valor de verdad, verdadero o falso. Las paradojas desafían este principio. Sin entrar en definiciones técnicas, una paradoja o antinomia implica partir de una aseveración que tomamos indudablemente por cierta, pero que termina arrastrándonos a una deducción que parece negarla. Tal aseveración es entonces al mismo tiempo verdadera y falsa, lo cuál va en contra de la unicidad del valor de verdad.

Paradoja del Mentiroso

Veamos el que posiblemente sea el ejemplo más famoso de paradoja, la Paradoja del Mentiroso o Paradoja de Epiménides. Epiménides era un profeta de la Antigua Grecia. Horrorizado por la blasfemias de los cretenses, clamó que todos ellos eran unos mentirosos. Sin embargo, Epiménides era él mismo natural de Creta, luego su afirmación le concernía a él también.

De forma simplificada, al Paradoja del Mentiroso puede ser enunciada de esta manera: «lo que digo es mentira». Si es cierto y efectivamente es mentira, entonces es falso. Si lo tomamos inicialmente por falso ocurre que solo puede ser verdadero.

Las paradojas lógicas

Es habitual distinguir entre dos tipos de paradojas. Las paradojas semánticas, como la que hemos visto del mentiroso, y las paradojas estrictamente lógicas. Estas últimas son las que hemos visto en el artículo pasado y atañen a conjuntos y clases: la Paradoja de Russell sobre conjuntos que no se contienen a sí mismos, la Paradoja de Burali-Forti sobre el conjunto de todos los ordinales y la Paradoja de Cantor del conjunto de todos los cardinales. Veremos que ambos tipos de paradojas tienen un origen similar relacionado con la autorreferencia.

Definiciones impredicativas

Las paradojas suponen definiciones problemáticas que incurren en lo que el matemático Henri Poincaré calificó de círculo vicioso. Un circulo vicioso implica una autorreferencia: definir un elemento haciendo alusión a la totalidad de la que forma parte. Definiciones que incurren en un circulo vicioso son conocidas como impredicativas. Una definición predicativa por el contrario establece una independencia entre las propiedades que definen un elemento y el dominio de objetos al que pertenece.

En 1905, Julius König hizo pública una paradoja semántica que utilizaremos aquí para demostrar cómo las definiciones impredicativas generan paradojas.

Paradoja de König

König resolvió que los números podían ser definidos recurriendo al lenguaje natural haciendo uso de un número finito de palabras, siendo casos de ejemplo «el número siguiente a tres» o «el número que resulta de de sumar dos y quince». König llegó a la conclusión que el número de posibles combinaciones finitas de palabras es numerable (el infinito de los números naturales) y por tanto, un subconjunto suyo como es el de definiciones de números es también numerable (cardinalidad de ℵ_{0}).

Los descubrimientos de Cantor demostraron que los números reales forman un conjunto de cardinalidad mayor, luego necesariamente habrá números que no puedan ser descritos verbalmente. Sin embargo, suponiendo que el conjunto de los reales se encuentra bien ordenado podemos generar una definición tal que «el mínimo número que no puede ser definido con una cantidad finita de palabras», lo cual es una contradicción pues esta definición contiene un número finito de palabras.

Círculo vicioso

Analizando la Paradoja de König descubrimos claramente el círculo vicioso. «El mínimo número que no puede ser definido con una cantidad finita de palabras» es una definición que presupone una totalidad cerrada de números definibles. A partir de esta totalidad construimos una propiedad impredicativa al incluir en ella una referencia a la totalidad en la que pretendemos incluirla. De esta autorreferencia surge la paradoja.

La Paradoja de Epiménides contiene también un círculo vicioso. Se parte de una totalidad aparentemente completa, aquello que afirman los cretenses, para luego proponer un nuevo elemento, el cual forma también parte de la totalidad porque Epiménides es también un cretense.

Teoría de Tipos de Russell

El gran número de paradojas que empezaron a descubrirse a inicios del siglo XX obligaron a replantear las propuestas logicistas. Russell hace hincapié en limitar el Principio de Comprehensión como solución a las paradojas. Recordemos que este principio afirmaba que toda función proposicional conlleva una clase, o lo que es lo mismo, toda propiedad implica un conjunto (que puede ser vacío) de elementos que cumplen tal propiedad. Sin embargo, dado que existen propiedades paradójicas, Russell sostuvo que algunas funciones proposicionales, concretamente aquellas que son impredicativas, NO equivalen a una clase.

Funciones y proposiciones

Russell distingue entre proposiciones y funciones proposicionales. Define función proposicional como una función que toma como argumento una variable proposicional, la cual hace referencia a un valor indeterminado perteneciente a un rango de argumentos. Decimos que una función es una expresión insaturada que contiene variables y que por ello no poseen un valor determinado.

La función se convierte en una proposición cuando esa variable toma un valor concreto de dicho rango, un valor que llamaremos término de dicha proposición. A diferencia de las funciones, las proposiciones se consideran enunciados saturados o cerrados, de valor específico.

En esta imagen, denotamos con letras minúsculas los distintos argumentos posibles (a, b, etc…) de la función P. Los valores que resuelve la función, en el lado derecho, son las diferentes proposiciones (P(a), P(b), etc…).

Rango de significados

Una función, como puede ser «x es objeto astronómico» no puede recibir cualquier tipo de expresión como argumento. Deseamos evitar que resulte en valores como «‘x es un objeto de más allá de la atmósfera’ es un objeto astronómico» o «‘Júpiter es un objeto de más allá de la atmósfera’ es un objeto astronómico». En el primer caso la función toma como argumento otra función mientras que en el segundo recibe una proposición. En cualquier caso, no tiene sentido discutir si estas expresiones son verdaderas o falsas; simplemente carecen totalmente de sentido y por ello queremos evitarlas en nuestro lenguaje lógico. Sin embargo, sí que podemos abrir la posibilidad a funciones legítimas que toman otras funciones como argumento, por ejemplo «Júpiter es un objeto que satisface las propiedades Χ«. Los argumentos que recibe una función como esta no pueden ser los mismos que los ejemplos mencionados antes. 

Esta distinción justifica la primera de las jerarquías que Russell introduce en su Teoría de Tipos: una función no puede tener cualquier valor como argumento sino que tiene un rango de significado, esto es, un rango de argumentos para los que la función resulta en un valor o proposición legitima, independientemente de si es verdadera o falsa. Dos funciones que compartan un mismo rango de significado, no pueden ser argumentos la una de la otra.

Tipos lógicos

Los tipos forman una jerarquía cuyo nuevo peldaño depende de que los anteriores estén correctamente definidos. En un primer nivel están los individuos x, que no son ni funciones ni proposiciones. Los denotamos con letras como a, b, c o también con x e y cuando queremos referirnos a un individuo cualquiera. Son objetos elementales, carentes y complejidad y por ello indivisibles. Forman el primer tipo. Las funciones cuyos argumentos son individuos son las llamadas funciones de primer orden:

P(x)     R(x,y)    ∀x[Q(x,y)]

Estas funciones dan lugar a nuevas proposiciones cuando fijamos el valor de todas las variables por medio de un cuantificador. Son las llamadas proposiciones de primer orden, tales como ∃x[P(x)] o ∀x∃y[Q(x,y)]. Como vemos, ninguna de estas expresiones contiene una variable real.

Centrémonos en una expresión como Χ(x). Tal fórmula expresa dos variables, una que recorre individuos y otra que recorre funciones de primer orden. Cualquier función que tenga al menos una variable  (libre o cuantificada) que recorra funciones de primer orden es una función de segundo orden. Algunos ejemplos son:

ψ(Χ(x))  ψ(Χ(a))  ∃a[Χ(a)]  ∀Χ[δ(Χ(x)]

Las proposiciones de segundo orden son el resultado de fijar los valores de estas funciones por ejemplo ∀Χ∃a[τ(Χ(a))]. El proceso podría continuar con funciones de tercer orden con argumentos χ que refieren una función de segundo orden indeterminada.

Teoría de Tipos y paradojas

La Paradoja de Russell surge en torno a si se contiene o no la clase que agrupa a todas las clases que no se contienen a sí mismas y en el artículo describimos como:

∀Χ[(Χ ∉ Χ) ↔ (Χ ∈ ξ)]

La paradoja surge cuando una de esas clases Χ es la propia clase ξ, dado que ∀Χ refiere a la totalidad de clases. Sin embargo según la Teoría de Tipos ξ no forma parte del rango de argumentos de sí misma. Se trata de una clase de tipo superior a las clases Χ y por tanto sustituirla en la expresión incurre en un sinsentido. Bajo la Teoría de Tipos, un enunciado como x∈y solo es significativo si y pertenece a un tipo superior a x.

De la misma manera podría resolverse la Paradoja de Epiménides. La expresión «lo que digo es mentira» alude a una totalidad: «lo que digo». Así que la propia expresión no pertenece a dicha totalidad, debe caer fuera, evitando así la expresión paradójica «‘lo que digo es mentira’ es mentira».

Teoría Ramificada de Tipos

La Teoría de Tipos evita los círculos viciosos y con ello, cualquier forma de paradoja. El modo en que esto se consigue es impedir que cualquier objeto definido haciendo referencia a una totalidad sea él mismo un elemento de esa totalidad. Dicho objeto debe caer fuera. Para ello es necesario que nuestro lenguaje lógico sea capaz de distinguir cuando se hace una referencia a un objeto cualquiera de cuando queremos indicar dichos objetos como un todo.

Pongamos una selección de propiedades en base a alguna propiedad específica φ. Tales propiedades son funciones de primer orden. Podría darse una función tal que:

∀Χ[φ(Χ(x) → x)]

Se trata de una función de x, dado que es su única variable libre, expectante de un valor. Pero, por acoger una variable cuantificada de primer orden, dicha función es de segundo orden. La jerarquía de tipos evita que φ sea una función incluida en la totalidad a la que refiere ∀Χ a pesar de ser una propiedad de x. Dicha φ cae fuera de la totalidad, en un orden inmediatamente superior.

Expresiones predicativas

Este ejemplo nos muestra que, dentro de un mismo tipo podemos encontrar funciones que cuantifican variables y otras que no. Russell denomina función predicativa a toda función que no cuantifique sus variables de orden inmediatamente inferior a la función. Así, funciones predicativas de primer orden no contienen ninguna variable de individuo cuantificada (P(x) o R(x,y) son predicativas); funciones predicativas de segundo orden no acogen variables de primer orden cuantificadas (por ejemplo ψ(Χ(x)) o ρ(Χ(x),Y(y))).

Enunciados como el antes mencionado ∀Χ[φ(Χ) → x] no son funciones predicativas porque su única variable libre no es del orden inmediatamente anterior. Tampoco lo es ∀x∃y[R(x,y)]. En cambio sí lo es ∀x∃y[ξ(Χ(x,y))], dado que la cuantificación afecta a variables que no son de orden inmediatamente anterior.

Teoría Ramificada de Tipos

La conservación del principio de círculo vicioso impide la mención de la totalidad de funciones de un determinado argumento. Entre otras cosas esto no permite aludir a todas las propiedades de un objeto.  En el ejemplo previo, la totalidad de funciones Χ con x como argumento no incluye a funciones como ∀Χ[φ(Χ(x) → x)] por hacer mención a dicha totalidad. Solo admite aquellas funciones de x que sean predicativas. Pero la variable x también tendrá propiedades que hagan referencia a esta totalidad, así como propiedades que refieran la totalidad de propiedades que aluden a la totalidad. Nos encontramos pues ante otro orden jerárquico. Esto es lo que con posterioridad a los escritos de Russell se ha dado a conocer como Teoría de Tipos Ramificada.

Russell nos pone un ejemplo: Napoleón es un objeto (n) que cumple una serie de propiedades, como puede ser «x es un líder flexible», «x es un militar atrevido», «x sabe reconocer las debilidades de su enemigos», etc… Todas ellas son propiedades predicativas, ya que no sugieren ninguna totalidad de individuos x. Pero una propiedad como «cumplir con todas las habilidades que caracterizan a un gran general» hace alusión a una totalidad de propiedades que podemos expresar como ∀Χ[λ(Χ(x)) → Χ(n)]. Para evitar el círculo vicioso, esas propiedades que caracterizan a un gran general deben ser exclusivamente propiedades predicativas de primer orden que no hagan referencia alguna a todos los individuos.

El Axioma de Reducibilidad

Para poder solventar estas limitaciones expresivas Russell propuso el llamado Axioma de Reducibilidad. En pocas palabras este axioma afirma que toda propiedad de un objeto puede expresarse como una propiedad predicativa. Esta última conservará los valores de verdad para cada determinado argumento, pero siendo definida por medios predicativos.

 Siguiendo el ejemplo de Napoleón, todas las propiedades que caracterizan a un general pueden reunirse en una misma expresión conjuntiva: λ(n) → (F(n) ∧ A(n) ∧ D(n)… ). Tal expresión es predicativa. Recurriendo a los famosos diagramas de Venn, λ(n) significa que n se encuentra en el área común a todas las propiedades que caracterizan a un buen general.

El Axioma de Reducibilidad puede interpretarse como una suerte de nuevo Principio de Comprehensión: toda propiedad independientemente de la complejidad de su expresión, es equivalente a un conjunto de elementos que cumplen con tal propiedad. Así, cualquier función de x, del orden que sea, es equivalente a una función de la forma «x pertenece a α«, siendo α una clase y la expresión, una función predicativa de primer orden.

Problemas con la Teoría de Tipos

La Teoría de Tipos Ramificada de Russell fue recibida con escepticismo. Si bien la primera de las jerarquías permitía distinguir funciones según el orden de sus argumentos, la segunda jerarquía, destinada a reorganizar funciones en referencia a procedimientos de cuantificación, levantó alguna que otra ampolla. Se trataba de una propuesta ad hoc para hacer frente a las paradojas recién descubiertas. Además la inclusión del Axioma de Reducibilidad no convenció. El recorrido de Russell, que primero enuncia una jerarquía de expresiones con afán de evitar el círculo vicioso, para luego afirmar que esta distinción es solventada fácilmente gracias al Axioma de Reducibilidad, convierte a la Teoría de Tipos Ramificada en un constructo innecesariamente complejo.

Russell defendió sus posiciones advirtiendo que principios fundamentales de la lógica y de la matemática estaban sustentados sobre definiciones impredicativas: propiedades que se definen refiriendo a la totalidad de las propiedades. Así es el caso del Principio de Inducción, sobre el que se erige toda la Aritmética (como mostró Peano en uno de sus axiomas), enunciado como la propiedad de cumplir con todas las propiedades que cumpla 0 y sean heredables. También es el Principio de Identidad, aquel que afirma de x e y son iguales, sí y solo si Χ(x) ↔ Χ(y).

Conclusión

La Teoría de Tipos de Russell, construida para solventar las numerosas paradojas que había de acumular la lógica de Frege, no disipó las dudas que se cernían sobre las viabilidad del proyecto logicista. La obra de Russell pretendía, como en su día intentó Frege, condensar en un solo marco teórico la perspectiva intensional propia de la lógica, con la extensional o conjuntista a la que dedicamos los primeros artículos de esta serie. Si la primera concierne a las propiedades (en un sentido general del término) y las posibles relaciones que pueden darse entre ellas, a la segunda atañe a las posibilidad de enumeración de los términos. El Axioma de Reducibilidad era la herramienta propuesta por Russell para integrar ambos planos en unos solo. La propuesta no cerró el debate y Russell se vio obligado a ceder a las crítica y abandonar el axioma en sus textos posteriores.

La Teoría de la Tipos introduce una trama que será relevante en los artículos posteriores y es aquella que concierne a los límites de lo lógico. Si de algo puede presumir la lógica es su aplicabilidad universal; ya sea en nuestro mundo real cotidiano, en el trabajo científico especializado o incluso en un universo de fantasía, la lógica hace acto de presencia dando sentido y cohesión a cualquier sistema de relaciones. Sin embargo, a pesar de toda su generalidad y abstracción, las paradojas exponen como ninguna otra cosa los límites de la lógica. Ningún lenguaje lógico que pretenda ser consistente, es decir, carente de contradicciones puede incluir enunciados como «todas las cosas» o «todos los enunciados». Esa dificultad para denotar totalidades distingue al lenguaje lógico del lenguaje natural de nuestra vida cotidiana. La Teoría de Tipos exhibe las superiores capacidades expresivas de este último.

Lecturas Recomendadas

– Russell, B. (1908) Mathematical Logic as based on the Theory of Types.

– Russell, B y Whitehead, A. N. (1925-1927) Principia Mathematica. Quinta edición.

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