Psicología, Matemática y Computación

Una reflexión para empezar...

Sigmund Freud enunció en uno de sus escritos las tres grandes heridas que la ciencia había infligido al ego humano. Si en el mundo medieval la Tierra se consideraba el centro del universo, Copérnico se atrevió a cuestionarlo con el modelo heliocéntrico. Donde el ser humano era la obra culmen de la Creación, Darwin lo bajó de su pedestal, colocándolo en la cadena evolutiva que lo ligaba al resto de especies vivas. El mismo Freud consideraba que él mismo se había ganado un lugar junto a los grandes científicos, alegando que el psicoanálisis suponía otra derrota más de la vanidad humana. Para Freud, lejos de que la conciencia sea dueña de nuestras decisiones, son pasiones primitivas y ocultas las que guían nuestro comportamiento.

Sin cuestionar el impacto del psicoanálisis en la ciencia, Freud acertó en intuir que el avance del conocimiento científico parecía de alguna manera distanciarnos de nuestra condición especial, de nuestro lazo con lo divino. Nuestro planeta es uno más en el abismal cosmos, y nuestra especie, un camino como otro entre las múltiples correrías de la Selección Natural.

Sin embargo, estamos ante una curiosa paradoja. ¿No es precisamente este conocimiento científico lo que nos eleva como especie? ¿Qué otro animal o ser de la Tierra es capaz de conocer su lugar en el Universo?

Trascendencia matemática

Dejemos a un lado por el momento estas preguntas metafísicas y vayamos al Mundo Antiguo. Fue en aquel momento donde el ser humano alumbró una de las ideas más fructíferas de la historia. En una colonia griega en el sur de Italia, el matemático Pitágoras transmitía sus conocimientos a la comunidad de seguidores que había surgido en torno a él. Aunque las matemáticas de los pitagóricos resultarían extrañas hoy en día por su contenido místico y esotérico, la escuela supo marcar el rumbo venidero en un punto clave. Pretendieron sostener todo su conocimiento en razonamientos matemáticos puros, de forma que la verdad matemática no dependiese de opiniones o prejuicios, sino que fuera clara y evidente para todo el mundo. Inventaron pues, la demostración matemática.

h² = a² + b²

Pitágoras y el resto de matemáticos griegos se dieron cuenta de que los argumentos demostrados matemáticamente procuraban un tipo de conocimiento especial por su trascendencia. La verdad matemática era lo más parecido a una verdad absoluta y universal.

El teorema que hizo famoso a Pitágoras, y que reproducimos arriba, es indiscutiblemente verdadero tanto en la polis griega como en cualquier otra parte del universo, hace 2500 años como dentro de 2 millones. Es fabuloso como un cerebro biológico, heredero de una caótica amalgama de sucesos evolutivos dispares, supo dar con un tipo de conocimiento que trasciende el espacio y el tiempo.

Alcanzar la matemática

Determinar la validez de un teorema es responsabilidad única de la matemática. Solo la matemática cuenta con las herramientas lógicas que nos permiten demostrar formalmente un argumento.

Sin embargo, el acontecimiento que hizo alumbrar este teorema en la mente de Pitágoras no tiene nada de matemático. Descubrir una verdad matemática es un suceso histórico, social, psíquico y biológico. Por transcendente que sea la verdad matemática esta solo puede ser intuida por una entidad viva en un espacio y un tiempo concretos. Puede que Pitágoras diera con una verdad universal e imperecedera, pero no por ello dejó de ser un mamífero habitando un punto minúsculo del universo.

¿Porqué la Psicología?

Una opinión popular arraigada sobre la Psicología es que su campo de estudio se limita a todo comportamiento no guiado, el que hacemos sin pensar de forma automática. Supone que bajo aquellas acciones cotidianas subyacen elementos en lo profundo de la psique, de los que el individuo no tiene conocimiento consciente. No es raro por tanto que muchos acaben pensando que la psicología tiene una función casi esotérica, de revelación de lo que está oculto.

Cuando nuestros comportamientos responden a instrucciones explícitas, es decir, a una serie de pasos secuenciados en el tiempo, parece que la psicología tiene menos que decir. Sin embargo, por muy mecánica que sea una determinada acción sabemos bien que la experiencia acumulada siempre juega a favor. Todo el que haya intentado cocinar un nuevo plato siguiendo las indicaciones de la receta sin mucho éxito sabrá a lo que me refiero. De hecho este tipo de comportamientos, que requieren la aplicación consciente, ordenada y auto-guiada de una serie de pasos, son operaciones muy complejas que no aparecen hasta muy avanzado nuestro desarrollo.

Las matemáticas son una de estas operaciones. Son lo más explícito y objetivo que ha desarrollado la mente humana, hasta el punto que han desarrollado un lenguaje propio. ¿Existe entonces algún vínculo entre la psicología y la matemática?

¿Porqué la Matemática?

Como ya se ha apuntado antes, la matemática es un campo bien delimitado, restringido a una serie de métodos de razonamiento y demostración que le son propios y que utiliza un lenguaje también específico. Es precisamente este tipo de restricciones lo que a veces dificulta entender la matemática.

La comprensión, es decir, el «acceso» a una verdad matemática, es un fenómeno que desborda el campo de la matemática. Esto es algo evidente no solo cuando aprendemos a sumar, dividir o derivar en la escuela, sino también en el fenómeno de intuición matemática que está detrás de todo descubrimiento matemático relevante. Todo el mundo sabe que las matemáticas son difíciles, pero pocos se preguntan el porqué.
Mostraré ahora con un ejemplo qué diferente es demostrar, es decir, probar la veracidad de un enunciado matemático, a entender el conocimiento matemático.

Demostración Algebraica

Todo estudiante se acaba enfrentando antes o después con ecuaciones de segundo grado del tipo

$x^{2}+bx+c=0$

esas en las que hay que averiguar cuánto vale x, estando está elevada al cuadrado. Por ejemplo x² + 5x -35 = 0. Existe una fórmula general para resolver toda ecuación que sea de este tipo:

$x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^{2}}{4}-c}$

Evidentemente esta fórmula no sale de la nada. Se puede demostrar recurriendo al álgebra:

1 ⇒ $x^{2}+bx+c=0$

2 ⇒ $x^{2}+bx+\frac{b^{2}}{4}=0+\frac{b^{2}}{4}-c$

3 ⇒ $(x+\frac{b}{2})^{2}=\frac{b^{2}}{4}-c$

4 ⇒ $x+\frac{b}{2}=\pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4}-c}$

5 ⇒ $x=-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4}-c}$

Para llevar a cabo esta demostración se ha utilizado álgebra al nivel de Secundaria. Aún así sigue siendo difícil de seguir si uno no está acostumbrado a lidiar con lenguaje matemático. Puede parecer que este tipo de demostraciones tienen algo de artificial. Parece que todo es un truco para forzar el resultado deseado. Es especialmente problemático el paso de la ecuación 2 a la 3. A pesar de su formalidad, muy posiblemente esta demostración algebraica no consiga convencer del todo que $x$ es realmente igual a $-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4}-c}$ .

Demostración Geométrica

Probemos con otro tipo de demostración, esta vez recurriendo a la geometría. Este método se conoce como «completar el cuadrado». Simplemente convertimos los términos en figuras geométricas. Mucha veces olvidamos que $x^{2}$ es, efectivamente, equivalente a un cuadrado de lado $x$ y que $bx$ lo es a un rectángulo.

Dividimos el rectángulo en dos partes iguales por lo que ahora tendremos dos rectángulos $\frac{b}{2}x$ .

Para crear un cuadrado perfecto en el lado izquierdo de la ecuación necesitamos añadir un pequeño cuadrado de superficie $(\frac{b}{2})^{2}$ . Esto es completamente válido siempre y cuando sumemos lo mismo al otro lado. El cuadrado completo será $(x+\frac{b}{2})^{2}$ .

Esto resulta en la ecuación $(x+\frac{b}{2})^{2}=\frac{b^{2}}{4}-c$ que es la ecuación número 3 en la demostración algebraica. Solo unos pocos movimientos más y ya tenemos nuestra fórmula general:

$x=-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4}-c}$ .

Demostraciones equivalentes

Espero que con esto acabe de convencer al lector de que esta es efectivamente la fórmula que resulta de despejar la $x$ . Esta segunda demostración parece mucho más intuitiva a pesar que, desde un punto de vista matemático, ambas son equivalentes. El resultado se muestra ahora mucho más evidente. Estoy convencido de que la comprensión sería todavía más rápida si se diese la oportunidad de manipular físicamente las figuras geométricas.

Creo haber demostrado con esto que una misma operación matemática puede ser representada de formas que son muy diferentes en cuanto a su comprensión. Esta diferencia, por tanto, no puede ser entendida desde la matemática. Es nuestra mente quien tiene predilección por las formas geométricas en vez de la manipulación de símbolos que es propia del álgebra. Las implicaciones de esto en la enseñanza de la matemática son evidentes.

¿Porqué la Computación?

Acabamos de ver que para el cerebro humano operaciones matemáticas equivalentes implican esfuerzos mentales muy diferentes. ¿Ocurre lo mismo con una máquina? Pues lo cierto es que sí, pero de forma inversa a los seres humanos. La computación es precisamente manipulación de signos. Es irrelevante la realidad a la que hagan referencia esos signos. Para una máquina todo es sintaxis, las relaciones que unos signos establecen con otros. Traducir esos signos a formas geométricas no es más que un estorbo que requiere de más recursos computacionales.

Esto nos da una información muy importante acerca de como operamos los seres humanos y como aprendemos la matemática. Para nosotros, los símbolos (matemáticos, pero también de cualquier otro tipo) son construcciones muy tardías en nuestro desarrollo. Las operaciones algebraicas no se inician en la escuela hasta los 12 años, mientras que la comprensión de las principales figuras geométricas se inicia ya en Primaria o incluso antes.

La Paradoja de Moravec

Esta diferencia en la manera de operar matemáticamente entre un humano y una máquina es un hecho ya apuntado por los especialistas. La paradoja de Moravec señala que las máquinas son capaces de realizar cómputos complejos a una velocidad muy superior a la de los mejores matemáticos. Sin embargo, habilidades como la de distinguir un triángulo de un rectángulo, que podría hacer cualquier niño, resultan difíciles de reproducir en una máquina. Muchos han explicado este fenómeno en base a millones de años de Selección Natural automatizando comportamientos muy complejos.

Símbolos

Pero esta respuesta no acaba de solucionar del todo esta paradoja. ¿Porqué la creciente complejidad computacional de las especies no se tradujo en capacidades matemáticas crecientes?

La manipulación simbólica propia de la matemática es una capacidad exclusiva del ser humano. Aunque ciertos animales sean capaces de distinguir cantidades, ninguno ha desarrollado el concepto de número.

Es más, muchas especies son capaces de habilidades que para los humanos serian verdaderos retos matemáticos. Reconocemos la finura de un panal, pero hasta donde sabemos, las abejas no han aprendido a contar los lados de una de sus celdillas.

La paradoja de Moravec nos confirma las enormes diferencias entre la inteligencia humana y la inteligencia de la que es capaz un máquina. Los ordenadores manipulan signos pero los seres humanos operamos símbolos que tienen un sentido para nosotros. Esa red simbólica es la que nos permite ver la equivalencia entre $x^{2}$ y un cuadrado.

Lecturas Recomendadas

– Wootton, D. (2017) La invención de la ciencia.

– Descartes, R. (1637) Discurso del método.